Naëlatence Posted January 14 Share Posted January 14 (edited) Salut, je ne comprends pas bien pour la question 1 l’écriture: ε=min(x/2, (1-x)/2). Et du coup je ne comprends pas non plus la suite du raisonnement, est ce que =min c’etait pour faire le symbole inférieur ou = ? Merci d’avance pour vos reponses ! Un ensemble A⊂R est dit ouvert si la propriété suivante est vérifiée : ∀x ∈ A, ∃ε > 0, ]x − ε, x + ε[⊂ A 1. Montrer que ]0, 1[ est un ouvert de R. 2. Montrer que [0, 1[ n’est pas un ouvert de R. Solution : 1. Soit x∈]0,1[. On pose ε=min(x/2,(1−x)/2). Alors,ε<x/2 donc x−ε>x−x/2=x/2>0 et x+ε < x+(1−x)/2 = (1+x)/2 < 1 donc ]x−ε,x+ε[⊂]0,1[. On a montré que ]0,1[ est ouvert. 2. [0,1[ n’est pas un ouvert de R. On montre que l’affirmation est fausse pour x = 0. 0 ∈ [0,1[ et ∀ε > 0, −ε/2 ∈] − ε, ε[ et −ε/2 ̸∈ [0, 1[, soit ∀ε > 0, ] − ε, ε[̸⊂ [0, 1[. De même je n’arrive pas à comprendre pourquoi pour justifier on utilise x/2 ou e/2 alors que c’est pas dans la propriété qui est donnée dans l’énoncé… Si quelqu’un pouvait m’aider je lui en serait infiniment reconnaissante !! Edited January 14 by Naëlatence Quote Link to comment Share on other sites More sharing options...
Bastitine Posted January 14 Share Posted January 14 10 minutes ago, Naëlatence said: Salut, je ne comprends pas bien pour la question 1 l’écriture: ε=min(x/2, (1-x)/2). Et du coup je ne comprends pas non plus la suite du raisonnement, est ce que =min c’etait pour faire le symbole inférieur ou = ? Merci d’avance pour vos reponses ! Salut. La fonction min fait ressortir la valeur minimale entre les deux soit pour x entre 0 et 1/2 : x/2 et pour x entre 1/2 et 1 c'est (1-x)/2. Tu t'en sers ensuite pour montrer que l'intervale ]x-ε ; x+ε[ est inclus dans ]0;1[, par exemple pour x entre 0 et 0.5, x+ε=3x/2 ce qui donne entre 0 et 0.75 et x-ε c'est x/2 donc entre 0 et 0.25. Tu as donc bien ]x-ε ; x+ε[ inclus dans ]0;1[. Tu fais pareil pour x entre 1/2 et 1. J'espère avoir pu t'aider ! 20 minutes ago, Naëlatence said: Salut, je ne comprends pas bien pour la question 1 l’écriture: ε=min(x/2, (1-x)/2). Et du coup je ne comprends pas non plus la suite du raisonnement, est ce que =min c’etait pour faire le symbole inférieur ou = ? Merci d’avance pour vos reponses ! Un ensemble A⊂R est dit ouvert si la propriété suivante est vérifiée : ∀x ∈ A, ∃ε > 0, ]x − ε, x + ε[⊂ A 1. Montrer que ]0, 1[ est un ouvert de R. 2. Montrer que [0, 1[ n’est pas un ouvert de R. Solution : 1. Soit x∈]0,1[. On pose ε=min(x/2,(1−x)/2). Alors,ε<x/2 donc x−ε>x−x/2=x/2>0 et x+ε < x+(1−x)/2 = (1+x)/2 < 1 donc ]x−ε,x+ε[⊂]0,1[. On a montré que ]0,1[ est ouvert. 2. [0,1[ n’est pas un ouvert de R. On montre que l’affirmation est fausse pour x = 0. 0 ∈ [0,1[ et ∀ε > 0, −ε/2 ∈] − ε, ε[ et −ε/2 ̸∈ [0, 1[, soit ∀ε > 0, ] − ε, ε[̸⊂ [0, 1[. De même je n’arrive pas à comprendre pourquoi pour justifier on utilise x/2 ou e/2 alors que c’est pas dans la propriété qui est donnée dans l’énoncé… Si quelqu’un pouvait m’aider je lui en serait infiniment reconnaissante !! Pour la 2e partie de ta question : pour prouver que ]0;1[ est un ouvert de R tu as besoin de trouver un epsilon pour chaque x tel que la propriété est vérifiée donc tu as besoin de trouver une formule d'epsilon qui dépend de x pour laquelle la propriété est vérifiée et c'est bien le cas de min(x/2;(1-x)/2) ! Quote Link to comment Share on other sites More sharing options...
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