Demonstrations exercice 11 du TD1

[Naëlatence]

Salut,

je ne comprends pas bien pour la question 1 l’écriture: ε=min(x/2, (1-x)/2). Et du coup je ne comprends pas non plus la suite du raisonnement, est ce que =min c’etait pour faire le symbole inférieur ou = ? 

Merci d’avance pour vos reponses !

Un ensemble A⊂R est dit ouvert si la propriété suivante est vérifiée : ∀x ∈ A, ∃ε > 0, ]x − ε, x + ε[⊂ A
1. Montrer que ]0, 1[ est un ouvert de R.
2. Montrer que [0, 1[ n’est pas un ouvert de R.
 

Solution :
1. Soit x∈]0,1[. On pose ε=min(x/2,(1−x)/2). Alors,ε<x/2 donc x−ε>x−x/2=x/2>0 et x+ε < x+(1−x)/2 = (1+x)/2 < 1 donc ]x−ε,x+ε[⊂]0,1[. On a montré que ]0,1[ est ouvert.
2. [0,1[ n’est pas un ouvert de R. On montre que l’affirmation est fausse pour x = 0. 0 ∈ [0,1[ et ∀ε > 0, −ε/2 ∈] − ε, ε[ et −ε/2 ̸∈ [0, 1[, soit ∀ε > 0, ] − ε, ε[̸⊂ [0, 1[.
 

De même je n’arrive pas à comprendre pourquoi pour justifier on utilise x/2 ou e/2 alors que c’est pas dans la propriété qui est donnée dans l’énoncé…

Si quelqu’un pouvait m’aider je lui en serait infiniment reconnaissante !! 
 

Edited January 14, 2024 by Naëlatence

[Bastitine]

10 minutes ago, Naëlatence said:

Salut,

je ne comprends pas bien pour la question 1 l’écriture: ε=min(x/2, (1-x)/2). Et du coup je ne comprends pas non plus la suite du raisonnement, est ce que =min c’etait pour faire le symbole inférieur ou = ? 

Merci d’avance pour vos reponses !

Salut. La fonction min fait ressortir la valeur minimale entre les deux soit pour x entre 0 et 1/2 : x/2 et pour x entre 1/2 et 1 c'est (1-x)/2. Tu t'en sers ensuite pour montrer que l'intervale ]x-ε ; x+ε[ est inclus dans ]0;1[, par exemple pour x entre 0 et 0.5, x+ε=3x/2 ce qui donne entre 0 et 0.75 et x-ε c'est x/2 donc entre 0 et 0.25. Tu as donc bien ]x-ε ; x+ε[ inclus dans ]0;1[. Tu fais pareil pour x entre 1/2 et 1. J'espère avoir pu t'aider !

20 minutes ago, Naëlatence said:

Salut,

je ne comprends pas bien pour la question 1 l’écriture: ε=min(x/2, (1-x)/2). Et du coup je ne comprends pas non plus la suite du raisonnement, est ce que =min c’etait pour faire le symbole inférieur ou = ? 

Merci d’avance pour vos reponses !

Un ensemble A⊂R est dit ouvert si la propriété suivante est vérifiée : ∀x ∈ A, ∃ε > 0, ]x − ε, x + ε[⊂ A
1. Montrer que ]0, 1[ est un ouvert de R.
2. Montrer que [0, 1[ n’est pas un ouvert de R.
 

Solution :
1. Soit x∈]0,1[. On pose ε=min(x/2,(1−x)/2). Alors,ε<x/2 donc x−ε>x−x/2=x/2>0 et x+ε < x+(1−x)/2 = (1+x)/2 < 1 donc ]x−ε,x+ε[⊂]0,1[. On a montré que ]0,1[ est ouvert.
2. [0,1[ n’est pas un ouvert de R. On montre que l’affirmation est fausse pour x = 0. 0 ∈ [0,1[ et ∀ε > 0, −ε/2 ∈] − ε, ε[ et −ε/2 ̸∈ [0, 1[, soit ∀ε > 0, ] − ε, ε[̸⊂ [0, 1[.
 

De même je n’arrive pas à comprendre pourquoi pour justifier on utilise x/2 ou e/2 alors que c’est pas dans la propriété qui est donnée dans l’énoncé…

Si quelqu’un pouvait m’aider je lui en serait infiniment reconnaissante !! 
 

Pour la 2e partie de ta question : pour prouver que ]0;1[ est un ouvert de R tu as besoin de trouver un epsilon pour chaque x tel que la propriété est vérifiée donc tu as besoin de trouver une formule d'epsilon qui dépend de x pour laquelle la propriété est vérifiée et c'est bien le cas de min(x/2;(1-x)/2) !