option math correction td 1 exo 11

[1Biscotte]

Salut la team maths !

Qqn à la ref de la correction du 3 prc j'comprends pas le but de y.
 

 

 

 

[Movgde]

Salut @1Biscotte!

Je me souviens j’avais détaillé cette exo ici je crois : 

 

Si jamais t’as besoin de plus de précision quelque part hésite pas !

[1Biscotte]

il y a 11 minutes, Movgde a dit :

Salut @1Biscotte!

Je me souviens j’avais détaillé cette exo ici je crois : 

 

Si jamais t’as besoin de plus de précision quelque part hésite pas !

salut,
déjà merci de la réponse je commençais a désespérer...
ensuite, le problème que j'ai c'est la démo du 3 que je ne comprends pas. 
Je comprends que seul l'ensemble vide et R marchent mais je ne saurais pas le prouver mathématiquement.
Apres peut-être que je me prends trop la tête sachant que c'est des qcms. 

[Movgde]

Alors déjà pour prouver que l’ensemble vide fonctionne c’est facile :

En posant P (il existe un ε>0 tel que quelque soit x dans A) et Q (]x-ε;x+ε[ inclu dans A). La propriété revient à P implique Q. Donc si A est l’ensemble vide, prendre une de ses valeurs (un x) est absurde car il s’agit de l’ensemble vide, donc P n’est jamais vérifié. Or l’affirmation « non P implique Q » est toujours vraie quelque soit P et Q. Donc l’ensemble vide fonctionne. 

 

En résumé :

Si une proposition commence par quelque soit x appartenant à E …, elle est automatiquement vraie si E est vide.

 

 

Pour l’ensemble R, c’est pas vraiment plus compliqué :

tu choisis un ε>0, puis un x appartenant à R. Ensuite comme ε appartient à R, x-ε appartient à R tout comme x+ε, donc l’intervalle des deux est bien compris dans R. 

[1Biscotte]

oui mais la tu as prouve que ces deux ensembles marchaient, pas que ce sont les seuls qui marchent. C'est ca que je trouve difficile.

[Movgde]

Sry, je pensais tu comprenais pas comment les justifier.

 

En gros dans la correction, on « créé » un ensemble différent de R et de vide, en prenant l’ensemble R puis en lui retirant un ensemble A. Tout d’abord, on cherche à montrer que la proposition P est vraie dans notre A. Donc on choisit un ε et on montre que tous les x de A vérifient la proposition. La récurrence sert à ça. 
C’est maintenant qu’intervient le y, donc on prend une valeur d’un ensemble différent de l’ensemble R et vide, et on montre que ce y est forcément compris dans un intervalle de x plus ou moins ε, donc comme ce y est compris dans cet intervalle, ce y est forcément compris dans A donc il ne peut pas faire partie de son ensemble initial car justement on y avait retiré A, c’est absurde, donc il n’existe pas de y avec un ensemble différent de R ou vide

Edited January 12, 2024 by Movgde