exo 5 TD 2

[StabiloBoss]

Hey, je comprends pas le raisonnement derrière cet exo, ce qui me pose problème c'est que j'ai compris qu'un produit cartésien donne un couple (x,y) mais ici on a l'élément {a} seul et aussi je comprends pas trop le lien entre x, y et a, b 

si quelqu'un veut bien m'éclairer merci d'avance :))) 

Exercice 5. A quelle condition a-t-on respectivement

1. E ×F = ∅ ?

2. E ×F = {a} ?

3. E ×F = {a,b} ?

Solution :

E ×F = {(x,y),x ∈ E,y ∈ F}.

1. E ×F = ∅ ⇐⇒ E = ∅ ou F = ∅.

2. E ×F = {a} ⇐⇒ E = {x} et F = {y}.

3. E ×F = {a,b} ⇐⇒ (E = {x} et F = {y,z}) ou (E = {x,y} et F = {z}).
 

[Alexandra_]

Coucouu,

 

Alors effectivement, l'exercice est exprimé de manière assez abstraite donc je vais essayer de clarifier l'énoncé ainsi que les réponses.

 

Pour le 1:

On nous demande quand est-ce que le cardinal de E×F est nul. C'est à dire quand est-ce que le produit cartésien E×F donne un ensemble vide. Et comme Card(E×F)=Card(E)×Card(F), on en déduit que Card(E×F)=0 ⇔ Card(E)=0 ou Card(F)=0 ⇔ E=∅ ou F=∅

 

Pour le 2:

Comme on ne t'explicite pas la nature de l'élément a et qu'il est inclus dans l'ensemble E×F, tu peux en déduire qu'il s'agit d'un couple (x,y) avec x∈E et y∈F. Du coup, l'exercice revient à te demander quand est-ce que Card(E×F)=1. Et comme Card(E×F)=Card(E)×Card(F), on en déduit que Card(E×F)=1 ⇔ Card(E)=1 et Card(F)=1 ⇔ E={x} et F={y}.

 

Pour le 3:

Idem que pour le 2, a et b sont des éléments appartenant au produit cartésien de E et de F. On en déduit ici que le cardinal du produit cartésien de E et de F est égal à 2. Comme Card(E×F)=Card(E)×Card(F), Card(E×F)=2 ⇔ (Card(E)=1 et Card(F)=2) ou (Card(E)=2 et Card(F)=1) ⇔ (E={x,y} et F={z}) ou (E={x} et F={y,z}).

 

Petites précisions supplémentaires:

- Le cardinal est un nombre entier, c'est la raison pour laquelle on a les équivalences en rouge. 

- Il ne faut pas que tu considères les lettres (a,b,x,y,z...) comme des lettres mais comme des éléments appartenant à différents ensembles et que tu te questionnes sur leur nature. Ainsi, comme a∈E×F, tu peux en déduire que a est un couple d'un élément de E et d'un élément de F.

 

Je ne sais pas si c'est plus clair, n'hésite pas à me dire si tu as besoin de plus de précisions :)