TD 3 EX 10

[raPASS]

bonjour, 

je ne comprends pas d'ou sorte les soulignées parties en gras de la correction.

 

Exercice 10. 

On dit que A ⊂ E est satur ́e par f : E → F si A = f−1f(A).

(i)Montrer que cette condition ́equivaut`a: ∀x∈A, ∀x′ ∈E : f(x)=f(x′)⇒x′ ∈A.

(ii) Montrer que les parties satur ́ees de E sont les parties de la forme f−1(B) avec B ⊂ F.

 

Solution :

(i) Supposons que f−1(f(A)) = A. Soit x ∈ A et x′ ∈ E tels que f(x) = f(x′). Il nous faut montrer que x′ ∈ A. On a f(x′) = f(x) ∈ f(A) donc x′ ∈ f−1(f(A)), et comme f−1(f(A)) = A, x′ ∈ A.

R ́eciproquement, supposons que ∀x ∈ A,∀x′ ∈ E,f(x) = f(x′) ⇒ x′ ∈ A. Il nous faut montrer que A = f−1(f(A)).

Soit x ∈ A. Alors f(x) ∈ f(A), donc x ∈ f−1(f(A)). Cela montre que A ⊂ f−1(f(A)) (c’est toujours vrai et n’utilise aucune hypoth`ese particuli`ere sur A !).

Soit maintenant x ∈ f−1(f(A)). On a f(x) ∈ f(A), donc ∃a ∈ A,f(x) = f(a). En utilisant l’hypoth`ese (avec x = a et x′ = x), on a donc x ∈ A. Cela montre que f−1(f(A)) ⊂ A, et donc finalement que f−1(f(A)) = A.

 

merci d'avance

[Movgde]

Salut @raPASS!

Il y a 1 heure, raPASS a dit :

On a f(x′) = f(x) ∈ f(A) 

Pour celui là, juste avant on a pris un x dans l’ensemble A et un x’ dans l’ensemble E en mettant une condition qui est f(x)=f(x’). 
Donc en partant de cette condition, on sait que f(x’)=f(x). Or x appartient à A, donc f(x) appartient à f(A). Ça revient à ce que f(x’) appartient à f(A). Donc avec ce qu’on avait supposé (f−1(f(A))=A), on obtient que x’ appartient à f−1(f(A)) donc x’ appartient à A. 
 

Il y a 1 heure, raPASS a dit :

En utilisant l’hypoth`ese (avec x = a et x′ = x)

Là ils utilisent juste l’hypothèse qui est formulée au dessus qui est : ∀x ∈ A,∀x′ ∈ E,f(x) = f(x′) ⇒ x′ ∈ A en remplaçant x par a et x’ par x. C’est comme ça qu’ils concluent par x appartient à A. 
 

En gros dans le raisonnement, y’a deux étapes car faut montrer un équivalence, donc d’abord, on montre que la première affirmation implique la deuxième, puis on montre que la deuxième implique la première. Donc les deux sont équivalentes.  

[raPASS]

salut @Movgde,

merci beaucoup j'ai compris pour les deux explication mais maintenant j'ai du mal à comprendre comme on arrive a cette conclusion pour la deuxième partie de la réciproque.

 

[raPASS]

solution:

(ii) Si A est satur ́ee, alors A = f−1(f(A)). En posant B = f−1(A), on a bien que A = f−1(B) pour un B ⊂ F.

R ́eciproquement, supposons A = f−1(B) avec B ⊂ F. Il nous faut montrer que f−1(f(A)) ⊂ A (l’autre inclusion est toujours vraie, cf. ci dessus...). Soit donc x ∈ f−1(f(A)). On a alors f(x) ∈ f(A). Orf(A)⊂B. Donc f(x)∈B et donc x∈f−1(B)=A. On a donc x∈A, ce qui prouve que f−1(f(A)) ⊂ A.

 

Pour l'implication je ne comprends pas pourquoi on prend ca : B = f−1(A) et pas B=f(A).

[Movgde]

Alors je suis pas sûr de comprendre non plus, j’ai l’impression que c’est un errata, je te conseille de poser la question sur le forum de moodle directement en espérant une reponse des profs. 
 

Pour moi ça serait bien B=f(A) car B en inclu dans l’ensemble F et A est dans l’ensemble E et la fonction f envoie un nombre de E dans F, donc que A = f-1(B) fait pas trop de sens je trouve. 

Désolé de pas pouvoir confirmer

[raPASS]

merci beaucoup quand meme je vais demander a prof