Tuteur raPASS Posted January 19, 2023 Tuteur Share Posted January 19, 2023 bonjour, je ne comprends pas d'ou sorte les soulignées parties en gras de la correction. Exercice 10. On dit que A ⊂ E est satur ́e par f : E → F si A = f−1f(A). (i)Montrer que cette condition ́equivaut`a: ∀x∈A, ∀x′ ∈E : f(x)=f(x′)⇒x′ ∈A. (ii) Montrer que les parties satur ́ees de E sont les parties de la forme f−1(B) avec B ⊂ F. Solution : (i) Supposons que f−1(f(A)) = A. Soit x ∈ A et x′ ∈ E tels que f(x) = f(x′). Il nous faut montrer que x′ ∈ A. On a f(x′) = f(x) ∈ f(A) donc x′ ∈ f−1(f(A)), et comme f−1(f(A)) = A, x′ ∈ A. R ́eciproquement, supposons que ∀x ∈ A,∀x′ ∈ E,f(x) = f(x′) ⇒ x′ ∈ A. Il nous faut montrer que A = f−1(f(A)). Soit x ∈ A. Alors f(x) ∈ f(A), donc x ∈ f−1(f(A)). Cela montre que A ⊂ f−1(f(A)) (c’est toujours vrai et n’utilise aucune hypoth`ese particuli`ere sur A !). Soit maintenant x ∈ f−1(f(A)). On a f(x) ∈ f(A), donc ∃a ∈ A,f(x) = f(a). En utilisant l’hypoth`ese (avec x = a et x′ = x), on a donc x ∈ A. Cela montre que f−1(f(A)) ⊂ A, et donc finalement que f−1(f(A)) = A. merci d'avance Quote Link to comment Share on other sites More sharing options...
Ancien Responsable Matière Solution Movgde Posted January 19, 2023 Ancien Responsable Matière Solution Share Posted January 19, 2023 Salut @raPASS! Il y a 1 heure, raPASS a dit : On a f(x′) = f(x) ∈ f(A) Pour celui là, juste avant on a pris un x dans l’ensemble A et un x’ dans l’ensemble E en mettant une condition qui est f(x)=f(x’). Donc en partant de cette condition, on sait que f(x’)=f(x). Or x appartient à A, donc f(x) appartient à f(A). Ça revient à ce que f(x’) appartient à f(A). Donc avec ce qu’on avait supposé (f−1(f(A))=A), on obtient que x’ appartient à f−1(f(A)) donc x’ appartient à A. Il y a 1 heure, raPASS a dit : En utilisant l’hypoth`ese (avec x = a et x′ = x) Là ils utilisent juste l’hypothèse qui est formulée au dessus qui est : ∀x ∈ A,∀x′ ∈ E,f(x) = f(x′) ⇒ x′ ∈ A en remplaçant x par a et x’ par x. C’est comme ça qu’ils concluent par x appartient à A. En gros dans le raisonnement, y’a deux étapes car faut montrer un équivalence, donc d’abord, on montre que la première affirmation implique la deuxième, puis on montre que la deuxième implique la première. Donc les deux sont équivalentes. Quote Link to comment Share on other sites More sharing options...
Tuteur raPASS Posted January 21, 2023 Author Tuteur Share Posted January 21, 2023 salut @Movgde, merci beaucoup j'ai compris pour les deux explication mais maintenant j'ai du mal à comprendre comme on arrive a cette conclusion pour la deuxième partie de la réciproque. Quote Link to comment Share on other sites More sharing options...
Tuteur raPASS Posted January 21, 2023 Author Tuteur Share Posted January 21, 2023 solution: (ii) Si A est satur ́ee, alors A = f−1(f(A)). En posant B = f−1(A), on a bien que A = f−1(B) pour un B ⊂ F. R ́eciproquement, supposons A = f−1(B) avec B ⊂ F. Il nous faut montrer que f−1(f(A)) ⊂ A (l’autre inclusion est toujours vraie, cf. ci dessus...). Soit donc x ∈ f−1(f(A)). On a alors f(x) ∈ f(A). Orf(A)⊂B. Donc f(x)∈B et donc x∈f−1(B)=A. On a donc x∈A, ce qui prouve que f−1(f(A)) ⊂ A. Pour l'implication je ne comprends pas pourquoi on prend ca : B = f−1(A) et pas B=f(A). Quote Link to comment Share on other sites More sharing options...
Ancien Responsable Matière Movgde Posted January 21, 2023 Ancien Responsable Matière Share Posted January 21, 2023 Alors je suis pas sûr de comprendre non plus, j’ai l’impression que c’est un errata, je te conseille de poser la question sur le forum de moodle directement en espérant une reponse des profs. Pour moi ça serait bien B=f(A) car B en inclu dans l’ensemble F et A est dans l’ensemble E et la fonction f envoie un nombre de E dans F, donc que A = f-1(B) fait pas trop de sens je trouve. Désolé de pas pouvoir confirmer Quote Link to comment Share on other sites More sharing options...
Tuteur raPASS Posted January 21, 2023 Author Tuteur Share Posted January 21, 2023 merci beaucoup quand meme je vais demander a prof Quote Link to comment Share on other sites More sharing options...
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