TD1

[idddéfix]

Salut, 

Je sais que cette option n'existait pas l'année dernière mais si qqn est chaud en maths est-ce qu'il peut m'expliquer la correction de la 1 sur la capture d'écran ? Je n'arrive pas à comprendre comment savoir quel epsilon il faut poser

https://zupimages.net/viewer.php?id=23/01/tx4h.png

Merci d'avance 

[Movgde]

Hey @idddéfix!

Alors en gros en math, quand tu veux montrer qu'un ensemble est un ouvert, il faut montrer qu'en prenant n'importe quel point dans cette ensemble, il est toujours possible de créer une boule (en gros un cercle avec le point choisit comme centre) qui est entièrement contenue dans l'ensemble. Si c'est possible de le faire, alors ton ensemble et bien un ouvert.

Concernant le choix de l'epsilon, c'est un peu au talent qu'il faut le choisir , pour montrer que t'as un ouvert, il suffit de trouver un epsilon, qui quelque soit la valeur x choisie (contenue dans l'ensemble bien évidemment) ton epsilon se retrouve bien dedans. Et comme tu peux le voir, l'epsilon de la correction fonctionne.

Généralement pour l'epsilon on peut choisir, on prend notre point x, puis on reagarde la distance de ce point par rapport au bord le plus proche et on divise par 2 pour être sûr d'être dans l'intervalle.

Pour que la formule soit jolie (en gros formulée mathématiquement), dans ton intervalle ]0;1[ soit t'es proche du bord 0, soit du bord 1. Donc si ton point x est proche de 0, tu choisiras la distance de ton point par rapport à 0 (en gros on utilise la formule pour calculer une distance, le point le plus loin - le point le plus proche), soit x puis tu divises par 2 pour être sûr d'être dans ton intervalle, donc t'obtient x/2.

Si ton point est proche de 1, la distance par rapport a son bord est 1-x puis tu divises par 2, d'où le (1-x)/2.

Ensuite pour ne pas mettre le français disant que "on prend la plus petite distance", on dit que epsilon = min(x/2;(1-x)/2).

 

Bref je ne sais pas si c'est plus clair pour toi, si jamais y'a un endroit qui demande plus de détail hésite pas !

[idddéfix]

@Movgde Merci bcp c'est déjà un peu plus clair mais je me rends compte que c'est vraiment tout l'exo 11 du TD qui me pose problème surtout la 3 je suis complètement perdue 

[Movgde]

(A prendre avec des pincettes) Mais comme les modalités d'examen sont des QCMs t'es peut être pas obligé de savoir faire les démos par cœur donc suffit juste de comprendre les grandes lignes, à vérifier si les profs donnent des exemples de QCMs.

 

Je vais partir du principe que t'as compris la 1 (si c'est pas le cas, c'est pas grave je peux essayer d'expliquer différemment). Donc pour le 2, on peut montrer que [0;1[ n'est pas un ouvert car justement (en reprenant mes explications du message précèdent) en prenant le centre de la boule égal à 0 (ce qui est possible car 0 est compris dans l'intervalle, ce qui n'est pas le cas dans la 1) et bien on voit que c'est pas possible de créer une boule de centre 0 contenue dans l'intervalle, j'ai un ptit schéma pour mieux comprendre : 

Donc côté mathématique ça donne ça :

On part de la propriété d'un ouvert et on montre qu'elle ne s'applique pas ici :

Donc pour montrer qu'elle ne s'applique pas il suffit de montrer qu'il existe un x qui fait que cette propriété est fausse.

Donc si on pose x = 0, la borne x+epsilon pose pas trop de problème par contre comme espsilon est forcément supérieur à 0, 0-epsilon est forcément négatif. Or ton ensemble A contient uniquement des valeurs positives, donc une partie de ta boule sera forcément en dehors de ton intervalle, donc tu viens de montrer que ton ensemble ne peut pas être un ouvert.

 

Concernant le 3, en gros c'est pour montrer l'importance de l'ordre des quantificateurs. En gros la nouvelle propriété devient celle-ci : 

En français ça donne ça : On choisit la taille de la boule, puis pour n'importe quel centre de la boule, il faut que la boule soit contenue dans l'ensemble A. Je pense que tu peux voir le problème, en gros si tu choisie la taille de ta boule avant son centre, ben y'aura toujours un endroit où ta boule va dépasser. D'où les 2 seuls ensembles possible : l'ensemble vide car y'a aucun x vérifiant la propriété (logique) et R car le seul qui fonctionne (attention ça fait pas office de démo ce que j'ai fait, c'est juste pour essayer de comprendre)

 

[idddéfix]

@Movgde Ok merci ça va mieux 

Le truc c'est que comme on a aucun qcm de disponible sur cette matière je ne sais pas trop comment la bosser ni quel niveau de précision est attendu