La loi normale: mon cauchemar (et aussi la centrée réduite)

mireillelacoccinelle · December 10, 2022

Chère merveilleuse personne experte en biostats, permet moi d'abuser de ta bonté et de te demander de me réexpliquer cette satanée loi normale qui est clairement ma bête noire, je sais qu'apparemment elle est pas très compliqué mais je bloque totalement dessus et aussi sur la loi centrée réduite :(

merci d'avance pour ta réponse que je sais merveilleuse (comme toi)

windu · December 10, 2022

Coucou,

Bon, ton message est bien assez mims pour que je transgresse la loi que je m'étais fixée de ne pas envahir la section des super RM biostats.

Pour la loi normale, rien de bien compliqué en fait : c'est une loi de probabilité, c'est-à-dire qu'elle décrit la modélisation d'une variable dans une population. On va l'utiliser pour évaluer et analyser les propriétés statistiques et les fonctions de probabilité associées à la distribution singulière décrite par cette loi - en gros c'est pratique de savoir qu'une variable suit une loi normale pour bosser sur la variable.

J'ai dit distribution singulière, parce que cette loi est particulière et ne s'applique pas à toutes les variables, elle s'appuie sur le théorème central limite : à partir d'une certaine taille d'échantillons, on va voir que les expériences ont un résultat moyen dont la valeur a une probabilité qui suit une distribution avec un maximum centré autour d'une valeur (c'est la courbe en cloche de la loi normale), qui diminue quand on s'en éloigne.

Pour rendre ce que je te raconte plus concret : imagine qu'on compte le nombre moyen de récidives de cancer dans un échantillon de 500 individus, sachant que la probabilité est de p = 0,3 d'avoir une récidive dans la population. Ici, tu pourras définir une loi normale que suit la variable X = le nombre moyen de récidives de cancer dans l'échantillon, autour d'une moyenne m avec un écart type e. Tu auras une loi normale avec une courbe en cloche centrée autour de 500 x 0,3 = 150 et qui diminuera autour de cette valeur - puisque la probabilité diminue lorsque l'on s'écarte de cette valeur.

Ensuite tu pourras utiliser les propriétés relatives à la loi normale pour travailler sur ça, éventuellement faire des tests de comparaison aussi (test de l'écart-réduit), etc.

Pour la loi normale centrée réduite, c'est un cas particulier des lois normales, dont on connaît particulièrement bien les propriétés et dont on se sert pour comparer deux lois normales par exemple, c'est un peu la référence en termes de lois normales. Si par exemple tu as deux lois normales "quelconques" X et Y de moyennes m₁ et m₂ et d'écarts type e₁ et e₂ respectivement, tu pourras les centrer d'abord (X - m₁ et Y - m₂) puis les réduire en créant deux nouvelles variables Z₁ = (X - m₁) / e₁ et Z₂ = (Y - m₂) / e₂ obtenant alors deux variables facilement comparables puisque toutes deux de paramètres (0 ; 1). Il te sera alors possible de comparer leurs écarts type, leurs distributions de manière plus générale, de manière probante, ce qui n'était pas le cas quand tu avais deux variables X et Y trop éloignées pour être comparées.