Estimation

avaats · October 31, 2021

Bonjour, plusieurs questions...

-Pourquoi dans l'estimation ponctuelle d'une variance, l'estimation est divisé par n-1 et non par n?

-Je ne comprend pas très bien le schéma page 36 du cours de Monsieur LEPAGE: "Intervalle de confiance autour de l'estimation d'une moyenne mu".

-Pourquoi la variance dans l'estimation de la moyenne M est devenue s^2 / n ??

-Pouvez-vous m'expliquer la transformation d'une variable suivant une loi normal, à une loi normal centré-réduite ? Car je ne comprend pas très bien pourquoi diviser par l'écart type permettrait de réduire (surtout que je ne comprend pas pourquoi l'écart type est égal à cette formule sachant qu'à l'origine il est nommé sigma...)

Voilà, désolé je suis vraiment perdu

PASStèque · October 31, 2021

Salut @avaats,

Voici les réponses que je peux apporter à tes questions :

Le 31/10/2021 à 14:48, avaats a dit :

Pourquoi dans l'estimation ponctuelle d'une variance, l'estimation est divisé par n-1 et non par n?

Pour rappel :

un estimateur $\widehat{\theta }$ doit valider 2 critères:

- être sans biais c'est à dire $E(\widehat{\theta }) = \theta$

- converger c'est à dire $\lim_{+\propto }V(\widehat{\theta })=0$

Vérifions ces critères pour la variance $\sigma ^{2}$ :

- $E(\widehat{\sigma ^{2}})= \frac{\sum (x-\overline{x})^{2}}{n}$ $= \frac{n-1}{n} Var(\sigma )$

Ici l'estimateur est biaisé don on va donc estimer $\sigma ^{2}$ par la variance empirique (par un facteur multiplicatif) $\sigma ^{2} = \frac{\sum (x-\overline{x})^{2}}{n-1}$

La démonstration n'est absolument pas à connaitre mais juste la formule et connaitre les 2 critères

Le 31/10/2021 à 14:48, avaats a dit :

Pourquoi la variance dans l'estimation de la moyenne M est devenue s^2 / n

tu appliques la même méthode que précédemment pour trouver ton estimateur de moyenne

- $E (\overline{X}) = E\left ( \frac{\sum x}{n} \right ) = \frac{1}{n}E(x1 + x2 + ... + xn) = \frac{1}{n}nE(x) = \mu$

Validation du critère sans biais

- $V(\overline{X}) = V \left ( \frac{\sum x}{n} \right ) = \frac{1}{n^{2}}V(x1+x2+...+xn) = \frac{1}{n^{2}}nV(x) = \frac{\sigma ^{2}}{n}$

Or $\lim_{+\propto }V(\overline{X}) = \lim_{+\propto }\frac{\sigma ^{2}}{n} = 0$

Edited December 14, 2021 by PASStèque

PASStèque · October 31, 2021

Il y a 2 heures, avaats a dit :

Pouvez-vous m'expliquer la transformation d'une variable suivant une loi normal, à une loi normal centré-réduite ? Car je ne comprend pas très bien pourquoi diviser par l'écart type permettrait de réduire

La loi normale est une distribution continue qui dépend de 2 paramètres $\mu$ et $\sigma$ . Cette fonction est très intéressante car elle détient des propriétés utiles au niveau statistiques (ce qui nous est utile à vous PASS).

On dit qu'une loi est centrée si son espérance est nulle

On dit qu'une loi est réduite si sa variance est égale à 1

elle pourra ainsi suivre une loi normale N(0,1)

Cela te donnera $Z = \frac{X-\mu }{\sigma }$

En espérant avoir répondu à tes questions

Bon courage

Edited October 31, 2021 by PASStèque

avaats · October 31, 2021

Il y a 1 heure, PASStèque a dit :

Salut @avaats,

Voici les réponses que je peux apporter à tes questions :

Pour rappel :

une estimateur $\widehat{\theta }$ doit valider 2 critères:

- être sans biais c'est à dire $E(\widehat{\theta }) = \theta$ G

- converger c'est à dire $\lim_{+\propto }V(\widehat{\theta })=0$

Vérifions ces critères pour la variance $\sigma ^{2}$ :

- $E(\widehat{\sigma ^{2}})= \frac{\sum (x-\overline{x})^{2}}{n}$ $= \frac{n-1}{n} Var(\sigma )$

Ici l'estimateur est biaisé don on va donc estimer $\sigma ^{2}$ par la variance empirique (par un facteur multiplicatif) $\sigma ^{2} = \frac{\sum (x-\overline{x})^{2}}{n-1}$

La démonstration n'est absolument pas à connaitre mais juste la formule et connaitre les 2 critères

tu appliques la même méthode que précédemment pour trouver ton estimateur de moyenne

- $E (\overline{X}) = E\left ( \frac{\sum x}{n} \right ) = \frac{1}{n}E(x1 + x2 + ... + xn) = \frac{1}{n}nE(x) = \mu$

Validation du critère sans biais

- $V(\overline{X}) = V \left ( \frac{\sum x}{n} \right ) = \frac{1}{n^{2}}V(x1+x2+...+xn) = \frac{1}{n^{2}}nV(x) = \frac{\sigma ^{2}}{n}$

Or $\lim_{+\propto }V(\overline{X}) = \lim_{+\propto }\frac{\sigma ^{2}}{n} = 0$

Alors, pour le rappel j'ai bien compris les raisons de ces deux critères, par contre pour la suite c'est plus compliqué... Pourquoi la somme (x- moyx)^2 se transforme en nVar(s)- Var(s) ?? et comment tu sais que l'estimateur est biaisé? Et je ne comprend toujours pas pourquoi on soustrait 1 désolé

Si vraiment tu n'arrives pas à m'expliquer pas grave, j'apprendrai simplement par coeur les formules ne t'en fais pas.

Enfaîte je pense que j'ai mal compris ce qu'était Somme(Xbarre).. Pour moi c=ça correspond à la moyenne de plusieurs moyenne (moyennes de plusieurs expériences avec des échantillons différents) mais je ne sais pas si c'est ça... Si c'est bien ça, pourquoi X devient x? Par contre j'ai compris pourquoi on obtient mu à la fin c'est un bon début mdrr

Ensuite pour la variance, bah rebelotte, je ne comprend pas pourquoi X devient x, pour moi ça devrait être Somme des X / n.

et aussi, pourquoi le n est mit au carré ensuite alors qu'il n'est pas au carré dans la parenthèse d'avant?

Il y a 1 heure, PASStèque a dit :

La loi normale est une distribution continue qui dépend de 2 paramètres $\mu$ et $\sigma$ . Cette fonction est très intéressante car elle détient des propriétés utiles au niveau statistiques (ce qui nous est utile à vous PASS).

On dit qu'une loi est centrée si son espérance est nulle

On dit qu'une loi est réduite si sa variance est égale à 1

elle pourra ainsi suivre une loi normale N(0,1)

Cela te donnera $Z = \frac{X-\mu }{\sigma }$

En espérant avoir répondu à tes questions

Bon courage

Sur la définition d'une loi centré réduite j'ai bien compris merci!

Par contre justement ce que je ne comprend pas c'est le passage d'une loi normal à une loi centré réduite. Dans notre cours on nous dit "Toute variable suivant une loi normale peut être transformé en une loi normale centré réduite. Ainsi, pour une moyenne estimée M~N(mu ; sigma^2 /n) - 1) On centre sur 0: Z'= (M- mu)~N(0; sigma^2 /n) - 2) On réduit (en divisant par l'écart-type):" et là il écrivent Z= Z' sur la racine de la variance (donc l'écart-type, mais je ne voit pas pourquoi c'est l'écart types, parce que oui c'est la racine de la variance, mais je ne voit pas pourquoi dans la formule l'écart type il y a déjà l'écart type au carré) et ils finissent en disant que c'est égal à M- musur l'écart type et que donc Z~N(0,1)

Donc c'est cette partie là que je ne comprend pas.

PASStèque · October 31, 2021

@avaats, il faut que tu apprennes les formules c'est du par coeur. (dsl)

Je te conseille vivement de faire des QCMs au lieu d'apprendre des démonstrations mathématiques fastidieuses qui te seront inutiles...

Il y a 3 heures, avaats a dit :

Donc c'est cette partie là que je ne comprend pas.

La aussi, c'est de la pure démonstration mathématique fondamentale

avaats · October 31, 2021

il y a 52 minutes, PASStèque a dit :

@avaats, il faut que tu apprennes les formules c'est du par coeur. (dsl)

Je te conseille vivement de faire des QCMs au lieu d'apprendre des démonstrations mathématiques fastidieuses qui te seront inutiles...

La aussi, c'est de la pure démonstration mathématique fondamentale

D'accord, merci

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