III.2) optique

[Romane18]

bonsoiiir,

 

ENONCE : Une fibre optique sert à guider la lumière le long de fils cylindriques dont l’indice diminue en s’éloignant de l’axe. Le faisceau incident doit pour cela avoir une ouverture angulaire convenable, afin que la lumière suive la direction donnée par une succession de réflexions totales. On considère une fibre modèle constituée d’un cœur cylindrique de rayon r 1 , d’indice n 1 = 1,50 et d’une gaine de rayon r2, d’indice n 2 =1,485.

 

1. Un rayon lumineux se propageant dans l’air d’indice n 0 = 1, arrive sur la fibre en I avec un angle d’incidence i 0 , puis sur l’interface cœur/gaine en J, sous l’incidence i 1 . Déterminer la condition sur i 1 pour qu’il y ait guidage dans la fibre.
2. Établir la condition associée sur l’angle d’incidence i 0 , de la forme i 0 < i m , i m étant à déterminer.

 

je ne comprends pas plusieurs points dans la correction, 

 

1) pourquoi on élève au carré le cos i1 dans la premiere équation et le sin i1 dans la deuxième ? 

2) comment on passe de sin²i1 > (n2/n1)² à 1-cos²i1 > (n2/n1)² ?

3) dans la mise en relation des 2 équation je ne comprends pas comment on trouve sin²i0 < n1²-n2²

4) (promis c'est la dernière) comment on trouve l'égalité finale avec i_m ?

 

 

Déso pour toutes ces questions et merci d'avance au courageux qui me répondront  

 

[Herlock]

il y a 7 minutes, Romane18 a dit :

1) pourquoi on élève au carré le cos i1 dans la premiere équation et le sin i1 dans la deuxième ? 

2) comment on passe de sin²i1 > (n2/n1)² à 1-cos²i1 > (n2/n1)² ?

@Romane18 Salut, ces 2 questions se regroupent, on le fait ici car on peut écrire :  d'après le formule cos2 + sin 2 = 1

il y a 10 minutes, Romane18 a dit :

3) dans la mise en relation des 2 équation je ne comprends pas comment on trouve sin²i0 < n1²-n2²

En fait les 2 équations nous ont permis de trouver deux manière d'écrire  et on va du coup mettre en inéquation les 2 termes à droite de chaque équation : parce qu'on cherche i0 et pas i1 !

[virasolelh]

hello @Romane18

 

1) dans un premier temps, les deux équations sont idépendantes. 

dans la première tu cherches la relation entre i0 et i1 avec les lois de Snell-Descartes. tu élèves au carré parce que ça facile les calculs quand tu as des sinus et cosinus de même angle car :

cos²x + sin²x = 1 (vraiment hyper important à savoir!)

dans la deuxième tu cherches à remplacer sin(i1) par cos(i1) que tu as défini avec la première équation (cos² i1 = sin² i0 / n1²)

2) ici on utilise la propriété citée plus haut

cos²x + sin²x = 1 <=> sin²x = 1 - cos²x

3) tu pars de sin² i0 / n1² < 1 - (n2/n1)² et tu veux trouver i0

tu vas multiplier des deux côtés par n1² pour t'en débarrasser (développe le carré sur le quotient en y étant)

sin²i0 < n1² (1 - n2²/n1²)

tu développes

sin²i0 < n1² - (n2².n1²)/n1²

et tu simplifies

sin²i0 < n1² - n2²

4) en joignant les deux équations, tu vas chercher im tel que im l'angle maximal pour avoir tes conditions de réflexions (soit i0 < im)

tu reprends ce que tu sais, tu prends la racine carrée

sini0 < racine(n1² - n2²)

i0 < arcsin(racine(n1² - n2²)

donc im =arcsin(racine(n1² - n2²)

 

c'est bon pour toi?

Edited January 15, 2021 by virasolelh

[Herlock]

il y a 12 minutes, Romane18 a dit :

4(promis c'est la dernière) comment on trouve l'égalité finale avec i_m ?

Dans l'énoncé on nous précise qu'on cherche quelque chose de la forme i0 < im. Ce im est bien le terme qu'on retrouve à droite de l'inéquation  et comme dans l'énoncé on connaît leur valeur on peut calculer l'angle im

 

Peut-être que le prof a donné des éléments de réponses sur ces exos, pour éviter que je te mette dans l'erreur !

[Romane18]

D'accord j'ai tout compris merci beaucouuuuup à vous 2 @Herlock @virasolelh 

[Herlock]

il y a 1 minute, Romane18 a dit :

D'accord j'ai tout compris merci beaucouuuuup à vous 2 @Herlock @virasolelh 

@Romane18Avec plaisir !