Jump to content

Vitesse d'un électron


Léaaa
Go to solution Solved by sebban,

Recommended Posts

  • Ancien du Bureau
  • Solution

Salut @Léaaa, pour commencer il faut se rappeler qu'un électron est une particule soumise à la mécanique relativiste.

Dans ce cas, l'énergie totale relativiste se calcule E_{tot}^{R}=\gamma mc^2 avec γ le facteur de Lorentz se calculant \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-{\frac{v^2}{c^2}}}}v est la vitesse de l'électron et c la célérité de la lumière dans le vide.

L'énergie totale correspond également à la somme de l'énergie de masse au repos E_0 = mc^2 et l'énergie cinétique E_c = (\gamma -1)mc^2 selon E_{tot}^R = E_0 + E_c.

 

Un électron possède par définition une énergie de masse au repos de E_c = mc^2 = 0,511 \, MeV = 511 \, keV. Par conséquent, l'énergie totale vaut E_{tot}^{R}=1,022=\gamma \times 0,511 \, MeV et le facteur de Lorentz vaut donc \gamma = \frac{1,022}{0,511}=2.

On isole la racine carrée : \frac{1}{\sqrt{1-{\frac{v^2}{c^2}}}}=2\Leftrightarrow 1=2 \times \sqrt{1-{\frac{v^2}{c^2}}} \Leftrightarrow \sqrt{1-{\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{1}{2}.

Si \sqrt{x}=y, alors y^2 = x. On a donc :

  • 1-\frac{v^2}{c^2}=0,5^2=0,25
  • d'où  \frac{v^2}{c^2}=0,75\Leftrightarrow v^2 = 0,75c^2
  • donc v=\sqrt{0,75 c^2}

Puisque \sqrt{a\times b}=\sqrt{a} \times \sqrt{b}, on a donc v=\sqrt{0,75\times c^2}=\sqrt{0,75}\times \sqrt{c^2}=0,866 \times c.

Je t'avoue ne pas avoir calculé manuellement la racine de 0,75, en espérant que cette valeur était donnée quelque part dans les énoncés. 🤔

 

Pour approfondir les items, on trouve que la vitesse est extrêment proche de la célérité de la lumière dans le vide : c'est la condition pour appliquer la mécanique relativiste. La première phrase du message est un cas général, mais la règle de la mécanique relativiste est d'avoir une vitesse proche de la vitesse de la lumière (d'où E vrai également).

 

D'où vient ce QCM si ce n'est pas indiscret ?

Link to comment
Share on other sites

Il y a 12 heures, sebban a dit :

Salut @Léaaa, pour commencer il faut se rappeler qu'un électron est une particule soumise à la mécanique relativiste.

Dans ce cas, l'énergie totale relativiste se calcule E_{tot}^{R}=\gamma mc^2 avec γ le facteur de Lorentz se calculant \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-{\frac{v^2}{c^2}}}}v est la vitesse de l'électron et c la célérité de la lumière dans le vide.

L'énergie totale correspond également à la somme de l'énergie de masse au repos E_0 = mc^2 et l'énergie cinétique E_c = (\gamma -1)mc^2 selon E_{tot}^R = E_0 + E_c.

 

Un électron possède par définition une énergie de masse au repos de E_c = mc^2 = 0,511 \, MeV = 511 \, keV. Par conséquent, l'énergie totale vaut E_{tot}^{R}=1,022=\gamma \times 0,511 \, MeV et le facteur de Lorentz vaut donc \gamma = \frac{1,022}{0,511}=2.

On isole la racine carrée : \frac{1}{\sqrt{1-{\frac{v^2}{c^2}}}}=2\Leftrightarrow 1=2 \times \sqrt{1-{\frac{v^2}{c^2}}} \Leftrightarrow \sqrt{1-{\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{1}{2}.

Si \sqrt{x}=y, alors y^2 = x. On a donc :

  • 1-\frac{v^2}{c^2}=0,5^2=0,25
  • d'où  \frac{v^2}{c^2}=0,75\Leftrightarrow v^2 = 0,75c^2
  • donc v=\sqrt{0,75 c^2}

Puisque \sqrt{a\times b}=\sqrt{a} \times \sqrt{b}, on a donc v=\sqrt{0,75\times c^2}=\sqrt{0,75}\times \sqrt{c^2}=0,866 \times c.

Je t'avoue ne pas avoir calculé manuellement la racine de 0,75, en espérant que cette valeur était donnée quelque part dans les énoncés. 🤔

 

Pour approfondir les items, on trouve que la vitesse est extrêment proche de la célérité de la lumière dans le vide : c'est la condition pour appliquer la mécanique relativiste. La première phrase du message est un cas général, mais la règle de la mécanique relativiste est d'avoir une vitesse proche de la vitesse de la lumière (d'où E vrai également).

 

D'où vient ce QCM si ce n'est pas indiscret ?

Ah oui d'accord je vois ça fait quand même pas mal de choses à faire avant d'arriver au résultat... C'est un QCM de prépa ! Merci beaucoup, c'est beaucoup plus clair maintenant mais je ne comprends pas comment tu passes de 0,25 à 0,75 avec le -1  😓

Edited by Léaaa
Link to comment
Share on other sites

  • Ancien du Bureau
Le 20/12/2019 à 06:59, Léaaa a dit :

Ah oui d'accord je vois ça fait quand même pas mal de choses à faire avant d'arriver au résultat... C'est un QCM de prépa ! Merci beaucoup, c'est beaucoup plus clair maintenant mais je ne comprends pas comment tu passes de 0,25 à 0,75 avec le -1  😓

Si on reprend 1-\frac{v^2}{c^2}= 0,25 on trouve -\frac{v^2}{c^2}= 0,25-1=-0,75 soit en inversant les signes (en multipliant par -1 des deux côtés) \frac{v^2}{c^2}=0,75. 🙂

Link to comment
Share on other sites

Join the conversation

You can post now and register later. If you have an account, sign in now to post with your account.
Note: Your post will require moderator approval before it will be visible.

Guest
Reply to this topic...

×   Pasted as rich text.   Paste as plain text instead

  Only 75 emoji are allowed.

×   Your link has been automatically embedded.   Display as a link instead

×   Your previous content has been restored.   Clear editor

×   You cannot paste images directly. Upload or insert images from URL.

  • Recently Browsing   0 members

    • No registered users viewing this page.
×
×
  • Create New...