Vitesse d'un électron

Léaaa · December 19, 2019

Bonjour, est-ce que quelqu'un peut me montrer comment calculer la vitesse...

Merci

sebban · December 19, 2019

Salut @Léaaa, pour commencer il faut se rappeler qu'un électron est une particule soumise à la mécanique relativiste.

Dans ce cas, l'énergie totale relativiste se calcule $E_{tot}^{R}=\gamma mc^2$ avec γ le facteur de Lorentz se calculant $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-{\frac{v^2}{c^2}}}}$ où v est la vitesse de l'électron et c la célérité de la lumière dans le vide.

L'énergie totale correspond également à la somme de l'énergie de masse au repos et l'énergie cinétique $E_c = (\gamma -1)mc^2$ selon $E_{tot}^R = E_0 + E_c$ .

Un électron possède par définition une énergie de masse au repos de $E_c = mc^2 = 0,511 \, MeV = 511 \, keV$ . Par conséquent, l'énergie totale vaut $E_{tot}^{R}=1,022=\gamma \times 0,511 \, MeV$ et le facteur de Lorentz vaut donc $\gamma = \frac{1,022}{0,511}=2$ .

On isole la racine carrée : $\frac{1}{\sqrt{1-{\frac{v^2}{c^2}}}}=2\Leftrightarrow 1=2 \times \sqrt{1-{\frac{v^2}{c^2}}} \Leftrightarrow \sqrt{1-{\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{1}{2}$ .

Si $\sqrt{x}=y$ , alors . On a donc :

$1-\frac{v^2}{c^2}=0,5^2=0,25$
d'où $\frac{v^2}{c^2}=0,75\Leftrightarrow v^2 = 0,75c^2$
donc $v=\sqrt{0,75 c^2}$

Puisque $\sqrt{a\times b}=\sqrt{a} \times \sqrt{b}$ , on a donc $v=\sqrt{0,75\times c^2}=\sqrt{0,75}\times \sqrt{c^2}=0,866 \times c$ .

Je t'avoue ne pas avoir calculé manuellement la racine de 0,75, en espérant que cette valeur était donnée quelque part dans les énoncés.

Pour approfondir les items, on trouve que la vitesse est extrêment proche de la célérité de la lumière dans le vide : c'est la condition pour appliquer la mécanique relativiste. La première phrase du message est un cas général, mais la règle de la mécanique relativiste est d'avoir une vitesse proche de la vitesse de la lumière (d'où E vrai également).

D'où vient ce QCM si ce n'est pas indiscret ?

Léaaa · December 20, 2019

Il y a 12 heures, sebban a dit :

Salut @Léaaa, pour commencer il faut se rappeler qu'un électron est une particule soumise à la mécanique relativiste.

Dans ce cas, l'énergie totale relativiste se calcule $E_{tot}^{R}=\gamma mc^2$ avec γ le facteur de Lorentz se calculant $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-{\frac{v^2}{c^2}}}}$ où v est la vitesse de l'électron et c la célérité de la lumière dans le vide.

L'énergie totale correspond également à la somme de l'énergie de masse au repos et l'énergie cinétique $E_c = (\gamma -1)mc^2$ selon $E_{tot}^R = E_0 + E_c$ .

Un électron possède par définition une énergie de masse au repos de $E_c = mc^2 = 0,511 \, MeV = 511 \, keV$ . Par conséquent, l'énergie totale vaut $E_{tot}^{R}=1,022=\gamma \times 0,511 \, MeV$ et le facteur de Lorentz vaut donc $\gamma = \frac{1,022}{0,511}=2$ .

On isole la racine carrée : $\frac{1}{\sqrt{1-{\frac{v^2}{c^2}}}}=2\Leftrightarrow 1=2 \times \sqrt{1-{\frac{v^2}{c^2}}} \Leftrightarrow \sqrt{1-{\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{1}{2}$ .

Si $\sqrt{x}=y$ , alors . On a donc :

$1-\frac{v^2}{c^2}=0,5^2=0,25$

d'où $\frac{v^2}{c^2}=0,75\Leftrightarrow v^2 = 0,75c^2$

donc $v=\sqrt{0,75 c^2}$

Puisque $\sqrt{a\times b}=\sqrt{a} \times \sqrt{b}$ , on a donc $v=\sqrt{0,75\times c^2}=\sqrt{0,75}\times \sqrt{c^2}=0,866 \times c$ .

Je t'avoue ne pas avoir calculé manuellement la racine de 0,75, en espérant que cette valeur était donnée quelque part dans les énoncés.

Pour approfondir les items, on trouve que la vitesse est extrêment proche de la célérité de la lumière dans le vide : c'est la condition pour appliquer la mécanique relativiste. La première phrase du message est un cas général, mais la règle de la mécanique relativiste est d'avoir une vitesse proche de la vitesse de la lumière (d'où E vrai également).

D'où vient ce QCM si ce n'est pas indiscret ?

Ah oui d'accord je vois ça fait quand même pas mal de choses à faire avant d'arriver au résultat... C'est un QCM de prépa ! Merci beaucoup, c'est beaucoup plus clair maintenant mais je ne comprends pas comment tu passes de 0,25 à 0,75 avec le -1

Edited December 20, 2019 by Léaaa

sebban · December 21, 2019

Le 20/12/2019 à 06:59, Léaaa a dit :

Ah oui d'accord je vois ça fait quand même pas mal de choses à faire avant d'arriver au résultat... C'est un QCM de prépa ! Merci beaucoup, c'est beaucoup plus clair maintenant mais je ne comprends pas comment tu passes de 0,25 à 0,75 avec le -1

Si on reprend $1-\frac{v^2}{c^2}= 0,25$ on trouve $-\frac{v^2}{c^2}= 0,25-1=-0,75$ soit en inversant les signes (en multipliant par -1 des deux côtés) $\frac{v^2}{c^2}=0,75$ .

Léaaa · December 21, 2019

il y a 11 minutes, sebban a dit :

Si on reprend $1-\frac{v^2}{c^2}= 0,25$ on trouve $-\frac{v^2}{c^2}= 0,25-1=-0,75$ soit en inversant les signes (en multipliant par -1 des deux côtés) $\frac{v^2}{c^2}=0,75$ .

Ah oui d'accord je vois merci beaucoup !

Vitesse d'un électron

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