Ancien Responsable Matière SBY Posted October 19, 2019 Ancien Responsable Matière Posted October 19, 2019 (edited) Hello ! Il y a un petit truc que j'arrive pas à comprendre dans le TD1. Voici l'énoncé : On donne la fonction polynôme f(x)=−3x^3−2x−1. C. La fonction h=g∘f définie par la composée de f par la fonction g(x)=ln(x)est décroissante Cet item est compté vrai. Mais lorsque l'on fait g∘f , comme f est toujours négative sur R, cette fonction n'est pas définie non ? Je ne sais pas si j'ai été claire. Je vous remercie d'avance de votre réponse ! Edited October 19, 2019 by SBY Quote
Ancien Responsable Matière Solution alexandre3222 Posted October 19, 2019 Ancien Responsable Matière Solution Posted October 19, 2019 (edited) Salut ! La fonction f est définie sur R. f'(x)= -9x^2-2 Donc la fonction f est strictement décroissante sur R (le carré est toujours positif, donc -9x^2 -2 est toujours négatif). La fonction g est strictement croissante sur R. Résoudre l'équation − 3x^3 − 2x − 1 = 0 est assez compliqué (juste pour rigoler la solution est x=1/3(3√1/2(√113−9)−23√2/√113−9 ) ) mais pas besoin de se prendre la tête: en - l'infini la fonction f est positive (donc pas toujours négative !), et comme elle est strictement décroissante et bien elle admet une seule racine sur R. Effectivement la limite en -l'inf de -3x^3 est +l'infini (limite de x^3 en -l'infini c'est -l'infini) La limite de -2x en -l'infini est également + l'infini Donc la limite de f en -l'infini sera +l'infini. Tant que la fonction f est strictement positive la fonction gof est définie. Et la composée d'une fonction strictement croissante avec une strictement décroissante donne une fonction strictement décroissante. L'item est donc vrai ! Edited October 19, 2019 by alexandre3222 Quote
Ancien Responsable Matière Tchoupi Posted October 19, 2019 Ancien Responsable Matière Posted October 19, 2019 Salut @SBY !!! Alors je vais essayer d'être claire mais désolé si ça l'ait pas et hésites pas à me le dire Alors comme on a un polynôme de degré 3 perso j'ai pas réussi à calculer de racines donc j'ai fais avec les moyens du bord... Mais si tu calcules les limites de f(x) tu vois qu'en -∞ lim f(x) = + ∞ et en +∞ lim f(x) = - ∞ Donc sur une partie de son domaine de définition f > 0 ce qui fait que sur cette partie h(x) = ln (f(x)) sera définie Et donc après pour finir le QCM on calcule f'(x) qui vaut -9x2 - 2 donc négative et donc f(x) décroissante. Mais comme le ln est croissant la composée est décroissante Ah mince j'avais pas vu que @alexandre3222 avait répondu désolé cher tuteur Quote
Ancien Responsable Matière SBY Posted October 19, 2019 Author Ancien Responsable Matière Posted October 19, 2019 Salut ! @alexandre3222 @Tchoupi Merci beaucoup à vous deux pour vos réponses ! Je m'étais trompée sur le calcul de la limite en - l'infini... Maintenant c'est plus clair ! Encore merci ! Quote
Ancien Responsable Matière Tchoupi Posted October 19, 2019 Ancien Responsable Matière Posted October 19, 2019 Avec plaisir Quote
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