Minimum et maximum local - Ma compréhension est à son minimum

[flofloo]

Hello, 

 

J'ai vraiment dû mal avec les notions de minimum et maximum local. En fait je sais vraiment pas comment m'y prendre pour appréhender une question  qui me demande si la fonction possède et/ou un minimum et maximum local. Donc si quelqu'un pourrait me dire les procédures à suivre et les règles à respecter pour dire si oui ou non une fonction admet un max/min.  J'ai compris que, d'après le cours, l'annulation de la dérivée n'est pas une condition suffisante pour obtenir un extremum et qu'il faut que la dérivée s'annule en changeant de signe.

 

Mais ça fait un charabia dans ma tête que j'arrive pas à appliquer en exercice 

 

Merci beaucoup  

[Parolier974]

Bonjour

Pour le maximum ou le minimum local il te faut passer par l'analyse du signe de la dérivée. 

Si elle est positive avant une certaine valeur de x et négative après, au niveau de la fonction ça se traduit par croissant et décroissant avec un maximum local qui est égal à l'image de la valeur X. 

Admettons que ça te valeur soit un demi et que la dérivée soit positive avant un demi et négative après un demi. 

La fonction sera alors croissante avant f(1/2) et décroissante après. 

À ce moment là, f(1/2) et un maximum local. 

Pour le minimum local la dérivée sera négative avant et positive après. La fonction sera donc décroissante avant f(1/2) et croissante après. 

 

 

C'est ce que j'ai compris. 

Edited September 29, 2018 by Parolier974

[AliPotter]

Bonjour @flofloo  

 

C'est tout à fait ce qu'a dit @Parolier974, je vais juste compléter son explication par deux exemples :

 

Pour la fonction f(x) = x², tu fais la dérivée, tu obtiens f'(x) = 2x.

Pour savoir si elle a un extremum sur son ensemble de définition (là normalement tu dois le savoir pour la fonction carrée mais on va le faire correctement), d'abord tu fais le signe de ta dérivée : 

x l  -∞         0          +∞ 

f' l         -     0    + 

f  l    ↘︎       0       ↗︎

Ici, tu as les conditions nécessaires pour avoir un extremum : annulation en changeant de signe. Et comme elle est d'abord décroissante puis croissante, ça sera un minimum (que tu peux voir sur la courbe)

 

Maintenant, si on prend la fonction g(x) = x³, g'(x) = 3x²

x  l -∞      0     +∞

g' l       +  0  + 

g  l     ↗︎  0 ↗︎

 

Ici, la dérivée s'annule bien en 0 mais elle ne change pas de signe car la fonction g est toujours croissante sur son ensemble de définition donc elle n'a pas d'extremum (tu peux également le voir sur la courbe).

 

Ces deux exemples sont juste illustratifs, ils sont quand même relativement simples par rapport à ce qu'on te demandera mais c'est pour bien montrer la différence entre une dérivée qui s'annule en changeant de signe et une qui ne change pas de signe... 

 

 

Est ce que c'est plus clair pour toi ? 

N'hésites pas si ce n'est pas le cas 

 

Bonne journée  

 

[flofloo]

Merci à vous deux ! C'est 1000 fois plus clair,  je comprend mieux ainsi la règle énoncée dans le cours ! Merci beaucoup

[Parolier974]

Bien joué @AliPotter.

De rien @flofloo