Point d'inflexion

[Loorette]

Bonjour,
J'arrive à me représenter ce qu'est un point d'inflexion mais incapable d'en sortir une définition exacte .. Quelqu'un pourrait m'éclairer ?
Merci d'avance !

[Chat_du_Cheshire]

Salut !

 

Les points d'inflexion annulent la dérivé seconde (dérivé de la dérivé) en changeant de signe !

[SBW]

Est ce que tu as un point d'inflexion quand tu as une tangente horizontale en ce point (dérivée s annule) mais si ta fonction était croissante avant, elle le reste après (ou si elle était décroissante avant ce point, elle reste décroissante après ce point)? donc en fait, est ce que tu as un point d'inflexion qi  tu as une dérivée qui s annule mais pas de changement de signe de cette ci ? 

[SBW]

c'est bon je me souviens : pour un point d'inflexion, la dérivée s'annule sans changer de signe (et la dérivée seconde s'annule en changeant de signe) 

[Dradeliomecus]

C'est cela !

[kErma]

Salut, vous m'avez mis le doute du coup haha quelle est la différence entre un point d'inflexion et un extremum local ?

[SBW]

et ben du coup au niveau de l'extremum local tu as une annulation de la dérivée et un changement de signe (changement de signe que tu n as pas pour le point d'inflexion)

c est un max ou un min de la fonction sur un intervalle donné mais pas forcément sur tout l ensemble de définition de la fonction 

je demande bien sur confirmation de tout ça ! 

[Dradeliomecus]

Un extremum local correspond à la dérivée première (f') qui s'annule en changeant de signe en un point.

Un point d'inflexion correspond à la dérivée seconde (f") qui s'annule en changeant de signe en un point.

[kErma]

Un extremum local correspond à la dérivée première (f') qui s'annule en changeant de signe en un point.

Un point d'inflexion correspond à la dérivée seconde (f") qui s'annule en changeant de signe en un point.

Merci !

[MrPouple]

Bonjour à tous, 

 

Parce que des petites photos c'est toujours mieux que des phrases :

Point d'inflexion :

Extremum local :

 

Je soutiens bien évidemment Dradeliomecus !!

 

Au plaisir, 

[sskméta]

salut,

 

je comprends le point d'inflexion avec la phrase : dérivée qui s'annule sans changer de signe - schéma suivant :

 

mais pas avec ton schéma mrpoulpe : 

[SBW]

il me semble en effet comme toi sskm que le schéma de mr pouple correspond à deux extremums locaux et non à un point d'inflexion !?

[MrPouple]

Salut ! Eh non du coup il y avait bien un flou donc ! 

 

Attention à ne pas confondre point d'inflexion avec un extremum ! Les deux schémas du poste de @sskm sont tout les deux valables pour la représentation du point d'inflexion (donc le mien l'est).

 

Considérez bien que le point d'inflexion est une inversion de signe de la dérivée seconde. En langage non mathématique, on pourrait dire que c'est un point de la courbe de la fonction ou la dérivée primaire change de sens de variation. Pour prendre l'exemple de cette photo :

 

On voit ici que la fonction est croissante, puis décroissante puis croissante. La dérivée est décroissante de [-infini; A] puis croissante de [A; +infini]. La dérivée seconde sera donc négative puis positive en s'annulant en A. Le point compliqué ici est de bien intégrer le fait que la dérivée primaire décroit jusqu'à A puis croit ensuite.

 

N'hésitez pas si ce n'est toujours pas clair, 

 

Au plaisir, 

[SBW]

Super merci pour la correction !! oui en effet maintenant c est clair et je comprends du coup pourquoi ton schéma est juste ! Merci !

[MrPouple]

Super, pas de soucis, bon courage à toi !

[Loorette]

Justement.. Je comprends pas trop comment on connait les variations de la dérivée primaire (son signe oui, d'après la fonction mais les variation ..?) .. Est ce que c'est parce qu'on trouve le point d'inflexion qu'on en déduit les variations de la dérivée primaire ou alors l'inverse ? (en trouvant ses variations on en déduit le point d'inflexion ?)

[MrPouple]

De la même manière que tu obtiens les variations d'une fonction avec le signe de sa dérivée, tu peux avoir les variations de la dérivée par le signe de la dérivée seconde. Mais tu peux aussi, en voyant la courbe de la fonction, déduire les variations de la dérivée. N'oublie pas que la dérivée primaire représente le coefficient directeur de la tangente en un point de la courbe. 

 

Dans le même schéma, tu vois que la pente de cette tangente ne fait que diminuer jusqu'en A pour remonter ensuite.

[Dradeliomecus]

Je vais faire un résumer général qui aidera je l'espère :

Une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive (et vice-sersa), donc on peut appliquer au niveau de la dérivé : quand la dérivée est croissante, alors la dérivée seconde est positive.

De manière générale, lorsque la dérivée seconde est positive, on dit que la fonction f est convexe. Si f" est positive, alors f' est croissante, et donc on peut en conclure que f "croit de plus en plus" (ou décroit de moins en moins), c'est typiquement le cas de la fonction f(x)=x² où la dérivé est croissante et la dérivée seconde positive.

Le même raisonnement s'applique lorsque la dérivée seconde est négative, on dit que la fonction f est concave.

On remarque que lorsqu'une fonction est convexe, la tangente est sous la courbe, et lorsqu'elle est concave, la tangente est au-dessus de la courbe.

 

Un point d'inflexion correspond à la dérivée seconde qui s'annule en changeant de signe, c'est-à-dire que la fonction f passe de concave à convexe (ou convexe à concave). On obtient donc une tangente qui croise la courbe comme sur le schéma de MrPoulpe (n'étant ni au-dessus ni en-dessous).

[sskméta]

Merci à tous les participants de la conversation! 

 

 

point d'inflexion (...), [lorsque] la fonction f passe de concave à convexe (ou convexe à concave)

 

De la compréhension pour SSKM