Méca exercice de rédaction

[Arthur.dgr]

Bonsoir, je bloque à la fin de l'exercice de mécanique (cf screen) enfaite je comprend tout SAUF a partir des 2 dernières lignes ou je ne sais pas d'où il sort le ( - sin²(a) + cos²(a)) si qq peux m'expliquer svp 

 

[Von]

Salut @Arthur.dgr

Dans les 2 dernières lignes, le prof dérive x selon α.

il utilise donc la formule (u.v)’ = u’v + uv’

Si on prend

u(x) = cosα  → u’(x) = -sinα. 

v(x) = sinα → v’(x) = cosα 

On obtient dx/dα = (2vo²/g)(-sinα * sinα + cosα * cosα) = (2vo²/g)(-sin²α + cos²α)

Bonne soirée 

 

[Arthur.dgr]

Punaise merci beaucoup j'avais pas vu le (u.v)'

[La_Guardia]

Bonsoir, 

Est-ce que quelqu'un saurait comment à partir de la forme dérivé, il aboutit à tan (alpha) = 1 puis alpha = pi / 4 

 

Merci d'avance 

[Von]

il y a 26 minutes, La_Guardia a dit :

Est-ce que quelqu'un saurait comment à partir de la forme dérivé, il aboutit à tan (alpha) = 1 puis alpha = pi / 4 

Bien sur ! Alors je continue l’explication :

Une fois arrivé la dx/dα =  (2vo²/g)(-sin²α + cos²α) = 0, nous avons une égalité à produit nul. Ce qui veut dire que l’un des deux facteurs est nul. Ici 2vo²/g ≠ 0 donc nous avons :

          -sin²α + cos²α = 0 

<=> cos²α = sin²α

<=> 1 = sin²α / cos²α

<=> 1 = tan²α

<=> 1 = tanα

<=> α = π/4 rad

NB : je rajoute que les angles -π/4 ; 3π/4 ; -3π/4 sont aussi solutions de cos²α = sin²α, mais cela ne changera rien par la suite, néanmoins, d’après le contexte de l’énoncé, les angles négatifs sont impossible. 

 

Une manière plus simple serai de regarder le cercle trigonométrique et de voir que pour que cos²α = sin²α, il faut un angle de 45° soit π/4 rad.

Puis en remplaçant α par π/4 dans l’expression de x(max) on obtient : 

x(max) = (2vo²cosα * sinα)/g = vo²/g 

AN : x(max) = 2²/10 = 2/5 m.

 

Bonne soirée ! 

Edited March 21 by Von

[La_Guardia]

Merci pour cette explication

 

[tibomajordepromo]

Il y a 20 heures, Von a dit :

Salut @Arthur.dgr

Dans les 2 dernières lignes, le prof dérive x selon α.

il utilise donc la formule (u.v)’ = u’v + uv’

Si on prend

u(x) = cosα  → u’(x) = -sinα. 

v(x) = sinα → v’(x) = cosα 

On obtient dx/dα = (2vo²/g)(-sinα * sinα + cosα * cosα) = (2vo²/g)(-sin²α + cos²α)

Bonne soirée 

 

salut, j'ai plusieurs question sur les 2 dernieres lignes aussi : pourquoi il dérive x ? et comment c'est possible qu'il dérive cos et sin comme des fonctions? 

merci pour ta réponse

 

[Von]

il y a 27 minutes, tibomajordepromo a dit :

salut, j'ai plusieurs question sur les 2 dernieres lignes aussi : pourquoi il dérive x ? et comment c'est possible qu'il dérive cos et sin comme des fonctions? 

Salut @tibomajordepromo, 

Lorsque nous avons trouvé l’expression de x en fonction de v(0),g et α, il faut trouver l’angle pour lequel x est maximal. Cela revient à se poser la question de savoir quelle angle α donne le maximum de x (tout autres paramètres étant fixés). Or en mathématiques, les extremums locals d’une fonction f associée à x se trouve quand df/dx = 0. Ici nous voulons trouver la valeur de α qui maximise x, donc nous devons trouver la valeur de α pour que dx/dα = 0. On trouve finalement l’angle de π/4 (parmi d’autres) qui répond à cette conditions.

 

Ensuite, pour ta deuxième question, il est possible de dériver cos et sin comme des fonctions simplement parce que ce sont des fonctions ! Ici nous avons cosα et sinα. Or on dérive selon α, donc nous devons prendre en compte sin et cos qui dépendent de α. De la même façon que f(x) = cosx donne la fonction dérive f’(x) = -sinx.

 

J’espère avoir répondu à tes questions, il est primordial de bien comprendre cela car les exercices de rédaction se note sur la démarche + que sur le résultats final.

 

Bonne soirée  

 

[tibomajordepromo]

ok merci @Von, j'ai tout compris !