Outils maths annale 2022_23

[Naëlatence]

Salut,

 

j’aurais besoins d’explications concernant 2items svp, le 3D et 3E:

->https://docs.google.com/document/d/1EfCOlXbIWIOVfe8vTERaOsdcUCGtjU1D6HSqoeAIGJQ/edit?usp=sharing

j’ai l’impression que pour cet exercice tel que c’est présenté sur le rectangle en haut, PQ et MN ne sont colineaires que s’ils font la même taille

 

Et ensuite je ne comprends pas pourquoi l’item E est vrai, PQ ne peut pas etre = à MN si MNPQ est un carré ? Ou bien peut etre qu’il dit rectangle et comme le carré est un rectangle particulier, ça le prend en compte

 

Merci d’avance pour vos réponses !!

 

[Naëlatence]

Aussi, je ne comprends pas bien ce que ça veut dire U(1)= {z appartient C| |z|=1} est ce que vous pourriez me l’expliquer svp ?

[Jonathan]

Le 20/03/2024 à 07:19, Naëlatence a dit :

j’aurais besoins d’explications concernant 2items svp, le 3D et 3E

3D

si PQ et MN sont non nuls, PQ ⊥ MP et MN ⊥ MP ⇒ PQ et MN sont colinéaires ⇒ PQ ∧ MN = 0 par définition du produit vectoriel

si PQ et/ou MN est nul, alors PQ ∧ MN = 0

donc ici PQ ∧ MN = 0 est toujours vrai, mais on a pas forcément PQ = MN: par exemple si M est au milieu de BA et l'angle AMD fait 60°, alors P et Q sont confondus avec D, PQ = 0 ≠ MN

 

3E

en vectoriel, NQ = NM + MP + PQ

on fait le produit scalaire par NM:

NQ . NM = ( NM + MP + PQ ) . NM = NM . NM + MP . NM + PQ . NM

or PQ = MN = -NM

et MN ⊥ MP ⇒ MP . MN = 0

donc NQ . NM = NM . NM + 0 - NM . NM = 0 ⇒ NQ ⊥ NM

comme NQ ⊥ NM ⊥ MP ⊥ PQ ⇒ NMPQ est un rectangle

 

Le 20/03/2024 à 07:19, Naëlatence a dit :

MNPQ est un carré ?

Un carré est un cas particulier de rectangle. Et si NMPQ est un rectangle, c'est forcément un carré: prenons un carré BADC de côté 1 (sinon on fait une homothétie), et notons les distances NB = x et BM = y, donc MA = 1 - y et AP = 1 - x (car les triangles NBM et PDQ sont égaux), et traitons d'abord le cas x≠0 et y≠0. Les triangles NBM et MAP sont semblables ⇒ NB/BM = MA/AP ⇒ x/y = (1-y)/(1-x) ⇒ y (1-y) = x (1-x) ⇒ y - y² = x - x² ⇒ x² - y² = x - y ⇒ (x+y) (x-y) = x-y ⇒ (x+y-1) (x-y) = 0

⇒ x+y=1 ou x=y

En tenant à nouveau compte que NBM et MAP sont semblable, x=y=½ et NMPQ est le carré dont les sommets sont les milieux des côtés du carré BADC. Si x=0 ou y=0, NMPQ est  confondu avec BADC, encore un carré.

 

Le 20/03/2024 à 07:33, Naëlatence a dit :

je ne comprends pas bien ce que ça veut dire U(1)= {z appartient C| |z|=1}

U(1) est l'ensemble des complexes de module 1, soit l'ensemble des z appartenant à C tels que norme de z égale un, ce qui se note { z ∈ C / ∥z∥=1 }, les accolades {} veulent dire ensemble.

 

[Naëlatence]

Salut, merci beaucoup pour ta réponse !

en fait j’aurais aussi besoin d’aide pour les autres items du qcm 3 svp 

Et aussi du qcm 4 et 5, je suis bloquée, je trouve ce sujet vachement dur par rapport à ce qu’on nous a donné d’habitude, j’ai oublié comment faire pour calculer le module: |f(z)|et aussi comment fait on pour savoir si c’est un imaginaire pur ou un réel pur ? Est ce qu’il faudrait que je remplace par z= x+iy ? 

 

Desolee j’ai bcp de questions…

[Jonathan]

il y a 22 minutes, Naëlatence a dit :

j’aurais aussi besoin d’aide pour les autres items du qcm 3

3A faux

par exemple si M est au milieu de BA et l'angle AMD fait 60°, alors P et Q sont confondus avec D, l'angle MNQ ne peut être droit car le triangle MNQ est déjà rectangle en M, donc contrexemple où MN . NQ ≠ 0 

 

3B vrai

produit scalaire des vecteurs PQ et NQ:

PQ . NQ = PQ . ( NM + MP + PQ )

par hypothèse PQ = MN = -NM

⇒ PQ . NQ = PQ . ( NM + MP - NM ) = PQ . ( NM - NM + MP ) = PQ . MP

comme PQ ⊥ MP ⇒ PQ . MP = 0

⇒ PQ . NQ = 0

 

3C faux

par exemple si M est au milieu de BA et l'angle AMD fait 60°, alors P et Q sont confondus avec D, PQ = 0 ≠ MN

 

3D faux

si PQ et MN sont non nuls, PQ ⊥ MP et MN ⊥ MP ⇒ PQ et MN sont colinéaires

⇒ PQ ∧ MN = 0 par définition du produit vectoriel

si PQ et/ou MN est nul, alors PQ ∧ MN = 0

donc ici PQ ∧ MN = 0 est toujours vrai, mais on a pas forcément PQ = MN: par exemple si M est au milieu de BA et l'angle AMD fait 60°, alors P et Q sont confondus avec D, PQ = 0 ≠ MN

 

3E vrai

produit scalaire de NQ par NM:

NQ . NM = ( NM + MP + PQ ) . NM

par hypothèse PQ = MN = -NM

⇒ NQ . NM = ( NM + MP - MN ) . NM = ( NM - MN + MP ) . NM = MP . NM

comme MN ⊥ MP ⇒ MP . MN = 0

⇒ NQ . NM = 0 ⇒ NQ ⊥ NM

comme NQ ⊥ NM ⊥ MP ⊥ PQ ⇒ NMPQ est un rectangle

 

il y a 23 minutes, Naëlatence a dit :

comment faire pour calculer le module

le module de z = a + i b est la longueur r de la représentation vectorielle de z dans le plan complexe (composante réelle a en abscisse, composante imaginaire b en ordonnée):

 

module de z, par Pythagore sur le triangle Oaz :

∥z∥ = √( a² + b² )

 

argument de z, par trigonométrie sur le triangle Oaz :

arg z = θ = arctan( b / a )

 

notations exponentielle complexe et trigonométrique de z :

z =  ρ e^iθ = ρ ( cos(θ) + i sin(θ) )

avec ρ = ∥z∥ et θ = arg z

 

le conjugué d'un complexe z = a + i b, c'est z_barre = a - i b ( la partie complexe change de signe ). C'est le symétrique de z par rapport à l'abscisse réelle, donc si on écrit en notation exponentielle complexe z =  ρ e^iθ, alors z_barre = ρ e^-iθ.

 

il y a 22 minutes, Naëlatence a dit :

qcm 4

avec z = 1 / ( 1 + i √3 ), il faut commencer par mettre le dénominateur sous forme réelle en multipliant numérateur et dénominateur par le conjugué ( 1 - i √3 ) du dénominateur:

z = ( 1 - i √3 ) / [ ( 1 - i √3 ) * ( 1 + i √3 ) ]
z = ( 1 - i √3 ) / [ 1 - i √3 + i √3 - 3 i² ]

z = ( 1 - i √3 ) / [ 1 + 3 ]

z = ( 1 - i √3 ) / 4

 

module de z : 

∥z∥ = √( 1² + (√3)² ) / 4 = √( 1 + 3 ) / 4 = 1/2

 

argument de z :

arg z = arctan( -√3 / 1 ) = -π / 3

 

notation complexe de z :

z = ( e^(-π/3) ) / 2

 

conjugué de z :

z_barre = ( 1 + i √3 ) / 4 (on inverse le signe de la partie complexe)

 

donc A faux,  B faux, C vrai car 1 / ( 2 e^(π/3) ) = ( e^(-π/3) ) / 2, D vrai en multipliant numérateur et dénominateur de la formulation originale de z par i (i²=-1), E vrai

 

il y a une heure, Naëlatence a dit :

qcm 5

formule d'Euler:

e^iθ = cos(θ) + i sin(θ)

 

s1(t) = √2 cos(ωt) = Re( √2 e^(i ωt) )    (partie réelle)

s2(t) = √2 sin(ωt) = Im( √2 e^(i ωt) )     (partie imaginaire)

donc A et B sont faux

 

s1(0) = √2 cos(0) = √2

s2(0) = √2 sin(0) = 0

donc C est faux

 

cos(α) = sin(α+π/2) mais cos(α+π/2) = -sin(α)

donc D est faux

 

cos(ωt+π/6) = cos(ωt)cos(π/6) - sin(ωt)sin(π/6) = cos(ωt)√3/2 - sin(ωt)/2

donc E est faux

(il fallait juste voir que cos(π/6) ≠ sin(π/6) pour conclure, pas forcément de connaître leurs valeurs)

 

Il y a 2 heures, Naëlatence a dit :

je trouve ce sujet vachement dur par rapport à ce qu’on nous a donné d’habitude

je trouve aussi que certaines questions sont un peu difficiles

pour des L1