Thème 1 exo 5.2

[Leeuwenhoek]

Bonsoir à tous,

Je ne comprends pas comment trouver les cordonnées dans ce type d'exercices.

Par exemple, je ne comprends pas pourquoi pour les cordonnées de exp(y') on a -rsinα et rcosα car j'ai pensé que c'est l'inverse on doit avoirs -rcosα et rsinα (  j'ai noté r la norme de exp(y') ).

 

Merci pour votre attention :)

[Jonathan]

Les coordonnées vectorielles d'un vecteur v dans une base (i, j, k) sont les coefficients scalaires (vx, vy, vz) de la combinaison linéaire unique des vecteurs de la base, égale au vecteur v:

v = vx i + vy j + vz k (il manque les flèches au dessus des vecteurs v, i, j, k).

 

Pour trouver dans la base orthonormée (ex, ey) les coordonnées de ex' et ey', rotation de la base (ex, ey), on cherche une combinaison linéaire de ex et de ey. Pour ey' on cherche les coefficients scalaires (exx, exy) tels que:

ey' = eyx ex + eyy ey

 

Lorsque l'angle α est petit et positif comme sur le schéma, on voit que eyy ey est le vecteur correspondant au grand côté du triangle rectangle rose et allant vers le haut, de même sens que ey, eyy = cos(α), et eyx ex est le vecteur correspondant au petit côté horizontal du triangle rectangle rose et allant vers la gauche, de sens opposé à ex, eyx = -sin(α).

 

Note que comme on parle de bases orthonormées, tous les vecteurs considérés ont pour norme 1, donc ton r = 1.

 

Raisonnement plus "matheux": on fait le produit scalaire . par ey puis par ex, de la relation ey' = eyx ex + eyy ey:

 

ey'.ey = (eyx ex + eyy ey).ey = eyx ex.ey + eyy ey.ey = eyy

(tous les vecteurs sont de norme 1, ex.ey = 0 et ey.ey = 1)

ey'.ey = cos(α) = eyy

 

ey'.ex = (eyx ex + eyy ey).ex = eyx ex.ex + eyy ey.ex = eyx

(tous les vecteurs sont de norme 1, ex.ex = 1 et ey.ex = 0)

ey'.ex = cos(α+π/2) = -sin(α) = eyx