fonction surjective , injective

[capasspasut3]

 TD 5 Exercice 2 Soit f : R\{1} → R la fonction définie par f (x) = 2x+1 x−1 . 1. 2. Est-ce que la fonction f est surjective ? 3. Est-ce que la fonction f est injective ?

J'ai pas vraiment compris comment on vérifie que la fonction est injective ou surjective , en plus le prof dans sa correction il n'explique absolument pas 

[Bastitine]

22 minutes ago, mel326 said:

 TD 5 Exercice 2 Soit f : R\{1} → R la fonction définie par f (x) = 2x+1 x−1 . 1. 2. Est-ce que la fonction f est surjective ? 3. Est-ce que la fonction f est injective ?

J'ai pas vraiment compris comment on vérifie que la fonction est injective ou surjective , en plus le prof dans sa correction il n'explique absolument pas 

Tu prends un ensemble d'arrivée de la fonction. Si chaque élément de cet ensemble a au moins un antécédent (un, deux trois...) par la fonction alors elle est surjective. Il faut en quelque sorte que la fonction en question remplisse cet ensemble en entier, peu importe si elle passe plusieurs fois à certains endroits. Pour l'injectivité c'est l'inverse : elle l'est seulement si il n'y a aucun endroit dans l'ensemble d'arrivée où elle passe plusieurs fois. Et elle est bijective si il n'y a un unique antécédent pour chaque élément de l'ensemble d'arrivée, elle est à la fois injective et surjective.

Pour trouver ce qu'elle est c'est utile de faire un tableau de variation et d'étudier la fonction le plus possible (ses limites, quand elle s'annule...) pour que tu puisse te donner une idée de l'allure qu'elle a (la dessiner éventuellement) et que tu puisses conclure quant à sa nature, suivant les ensembles donnés.

J'espère que ça t'a un peu aidé !

[capasspasut3]

oui mais j'ai compris ça dans le cours mais comment on sait à partir du tableau de variations parce que je ne sais pas le prof fait réference à quel 2 parce que nos 2 limites en - et + l'infini sont égal à 2 donc nous savons qu'une fonction injective c'est une fonction qui admet au maximum une solution mais pourquoi nous avons pris le 2 et pas une autre solution voilà ce que je n'ai pas compris 

[Movgde]

Salut ! @mel326

En gros on voit que la fonction est continue décroissante toujours inférieure à 2 sur ]-infini;1[ et continué décroissante toujours supérieure à 2 sur ]1;+infini[ donc on voit directement que chaque valeur admet une solution unique. (Le souci aurait pu venir de la solution 2 mais il n’existe pas de x tel que f(x)=2)