Linéarisation complexe

[AshGrey]

Hello, je rencontre un petit soucis d'incompréhension pour ces linéarisations là: 

https://zupimages.net/viewer.php?id=23/06/oz96.png

Tout d'abord d'où sort le 2isin ? il y a peut être une étape qui a sauté dans la démonstration ou bien c'est un truc tout simple que je n'ai pas compris . Et aussi pourquoi est -ce-qu'on se retrouve que avec des sins à la fin ? ou est passé le cos ? 

 

https://zupimages.net/viewer.php?id=23/06/g2w7.png

C'est sans doute la même question pour ça aussi mais je ne comprend pas pourquoi il y a un cos qui apparait à la fin alors qu'on avait un sin au départ

 

Est ce que quelqu'un voudra bien m'expliquer tous ces choses comme s'il expliquait à un gamin, parce que clairement mon niveau en math, c'est du niveau collège pas plus

[Dr_Zaius]

  On 2/5/2023 at 11:45 PM, AshGrey said:

Tout d'abord d'où sort le 2isin ? il y a peut être une étape qui a sauté dans la démonstration ou bien c'est un truc tout simple que je n'ai pas compris . Et aussi pourquoi est -ce-qu'on se retrouve que avec des sins à la fin ? ou est passé le cos ? 

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Coucou @AshGrey !!!

Tu vas voir c'est pas si compliqué :

Il faut connaître la formule : e^iθ = cos(θ) + i.sin(θ)

(à gauche la forme dite exponentielle et à droite forme dite trigonomtrique)

Donc pour ton nominateur prenons la partie de gauche :

e^5iθ - e^-5iθ = cos(5θ) + i.sin(5θ)  -  cos(-5θ) + i.sin(-5θ)

e^5iθ - e^-5iθ = (cos(5θ) + i.sin(5θ)) - (cos(-5θ) + i.sin(-5θ))

C'est presque fini ici, il suffit juste de faire la distributivité du moins devant la parenthèse pour simplifier le tout.

e^5iθ - e^-5iθ = cos(5θ) + i.sin(5θ) - cos(-5θ) - i.sin(-5θ)

Maintenant il suffit de savoir une dernière astuce à connaître, elle doit être dans les formules à connaître du fascicule mais voici :

cos(θ) = cos(-θ)

sin(-θ) = - sin(θ)

tu peux soit les apprendre soit visualiser le cercle trigonométrique et retrouver ces formules grâce aux axes ce que je te conseille plutôt de faire.

pour finir on a donc :

e^5iθ - e^-5iθ = cos(5θ) + i.sin(5θ) - cos(-5θ) - i.sin(-5θ) = cos(5θ) + i.sin(5θ) - cos(5θ) -1 x (- i.sin(5θ)) = 2i.sin(5θ)   TADAAAA

De la même manière tu peux trouver que e^iθ - e^-iθ = 2i.sin(θ) (essaye de le faire maintenant en reprenant mes étapes ça devrait le faire !)

 

Pour le cos() tu avais vu juste en effet c'est le même passage à la forme trigonométrique qui est employé. Je te fais la version courte mais tu peux redétailler avec ce que j'ai mis au dessus si tu veux :

 

e^2iθ = cos(2θ) + i . sin(2θ)

e^-2iθ = cos(-2θ) + i . sin(-2θ)

 

e^2iθ +  e^-2iθ = (cos(2θ) + i . sin(2θ)) + (cos(2θ) - i . sin(2θ)) = 2cos(2θ)

 

(c'est tout le temps la même chose, t'inquiètes pas même si c'est long ça va rentrer)

Bon courage @AshGrey

Edited February 6, 2023 by Dr_Zaius

[AshGrey]

Merci beaucoup @Dr_Zaius, je comprends mieux à présent. Comme tu l'as dit, j'ai essayé de le refaire. Du coup ça allait mais juste pour la linéarisation sin^2(θ), je me retrouve avec 2cos(2θ) - 2/-4, après je sais plus comment procéder. Je m'étais dit que je pourrais simplifier 2/4 par 1/2, mais je ne sais pas quel 2 "éliminer" je sais pas si c'est le 2 du cos ou bien le -2 ou bien les deux.

Dans la simplification finale j'ai vu que le cos avait un signe négatif et j'ai pas compris pourquoi, est ce que ça relève d'une propriété ? Si ça ne te dérange pas , est ce que tu pourrais me l'expliquer stp ? 

 

Merci d'avance pour ta réponse 

[Dr_Zaius]

  On 2/6/2023 at 12:31 PM, AshGrey said:

Merci beaucoup @Dr_Zaius, je comprends mieux à présent. Comme tu l'as dit, j'ai essayé de le refaire. Du coup ça allait mais juste pour la linéarisation sin^2(θ), je me retrouve avec 2cos(2θ) - 2/-4, après je sais plus comment procéder. Je m'étais dit que je pourrais simplifier 2/4 par 1/2, mais je ne sais pas quel 2 "éliminer" je sais pas si c'est le 2 du cos ou bien le -2 ou bien les deux.

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Alors tu as bien compris, le truc c'est de factoriser, en théorie si tu vas vite et que tu vois qu'au nominateur tu as des termes avec des facteurs divisibles par 2 alors tu peux diviser tout ces facteurs par deux, mais le mieux si tu veux bien comprendre c'est de factoriser :

on a donc :

2cos(2θ) - 2  /  -4

Le moins au dénominateur c'est pas joli donc on va multiplier en haut et en bas par -1, on a tout à fait le droit de multiplier en Haut ET en Bas par le même nombre car par exemple 3/4 = 6/8 ou bien 3/4 = -3/-4:

(2cos(2θ) - 2 ) x (-1) /  -4 x (-1) = -2cos(2θ) + 2  /  4

Et maintenant factorisons le nominateur et le dénominateur par 2. C'est à dire qu'on fait passer le 2 en facteur devant un parenthèse :

-2cos(2θ) + 2  /  4  =  2 x (-cos(2θ) + 1) / 2 x 2

Y a plus qu'à barrer :

2 x (-cos(2θ) + 1) / 2 x 2 = 2 x (-cos(2θ) + 1) / 2 x 2

On obtient bien en simplifiant :

= - cos(2θ) + 1 / 2

Voilà !!!

[AshGrey]

Ah je vois, j'ai toujours eu du mal avec la factorisation, du coup je n'y avais pas du tout penser. Merci encore @Dr_Zaius, je pense qu'à présent, je vais pouvoir faire le reste ! 

 

je viens à peine d'y penser mais ça marche aussi si j'essaye de factoriser avec -2 ? 

Edited February 6, 2023 by AshGrey

[Dr_Zaius]

  On 2/6/2023 at 1:12 PM, AshGrey said:

Ah je vois, j'ai toujours eu du mal avec la factorisation, du coup je n'y avais pas du tout penser. Merci encore @Dr_Zaius, je pense qu'à présent, je vais pouvoir faire le reste ! 

 

je viens à peine d'y penser mais ça marche aussi si j'essaye de factoriser avec -2 ? 

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Oui tout à fait tu gagneras une étape !

Bon courage @AshGrey !