projection orthogonale

[khaled]

Salut, c'est sur la 3.2) Projection orthogonale (THEME 1) 

petit 2)
https://zupimages.net/viewer.php?id=23/01/ey3y.png (le corrigé de petit 2)

je comprends pas ce que j'ai entouré et souligné, d'où ils viennent ces nombres?

 

merci

Edited January 6, 2023 by khaled

[Cassolnousmanque2]

Ok alors attends je cherche le poly parce que celui que j'avais correspond pas 

[khaled]

2 minutes ago, Cassolnousmanque2 said:

Ok alors attends je cherche le poly parce que celui que j'avais correspond pas 

Tu cherches fascicule outils maths?

[S2P2]

Salut !

Ce que tu as entouré correspond aux coordonnées du vecteur. En effet écrire les coordonnées sous la forme (10;5) revient à écrire (5*2;5*1).

Et on peut donc noter 5 | 2

                                        | 1

Ensuite ce que tu as souligné c'est l'application de la formule de la norme du vecteur. Je te mets la formule générale ici : √(x² + y²) ou √(x² + y² + z²) avec x, y, z les coordonnées (on a une coordonnée z seulement si on est en 3 dimensions).

Dans notre cas x = 10 et y = 5.

|| AB || = √(10² + 5²) = 5√5

C'est un calcul pas forcément facile à faire de tête à cause du nombre élevé sous la racine, et la calculatrice n'est pas autorisée à l'examen. Pour le simplifier on peut écrire les coordonnées sous la forme 5 | 2

                                                | 1

Ce qui nous permet d'écrire : || AB || = 5 * √(2² + 1²) = 5√5

Et là c'est faisable de tête. 

 

C'est mieux ?

Edited January 6, 2023 by S2P2

[Cassolnousmanque2]

Alors, j'aurai peut-être pas les explications exactes mais je vais essayer de t'expliquer la démonstration que j'ai trouvée (j'ai pas regardé la correction)

Tu pars du produit scalaire (je sais pas comment inclure les flèches donc je les mets pas mais évidemment elles y sont) : AC.AB 

Par définition normalement tu sais que : 

AC.AB = //AC// x //AB// x cos (AC.AB) -> (pareil je mets pas l'accent parce que je sais pas faire mais il y est), normalement je crois que vous voyez ça au lycée, de toute manière c'est rappelé dans le poly il me semble

 

Quand tu es dans un triangle rectangle (ce qui est le cas dans le triangle ACH qui est rectangle en H de par le fait que AH soit la projection orthogonale de AC et AB), alors :

cos = adj/hyp

Ici Adj = AH et Hyp = AC (c'est le côté le plus long) 

<=> Ici cos (AC.AB) =  (//AH//) / (//AC//)

 

Après tu remplaces dans ton égalité de départ : 

AC.AB = //AC// x //AB// x cos (AC.AB)

<=> AC.AB = //AC// x //AB// x (//AH//) / (//AC//)

 

Tu vois que tu as 1 //AC// en haut et 1 //AC// en bas donc tu peux simplifier ce qui donne : 

<=> AC.AB = //AB// x (//AH//)

 

Voilà tu as répondu à la première partie de la question

 

Pour la deuxième partie : 

Tu vas te servir des coordonnées de tes points A, B, C qu'on te donne au départ 

 

Pour rappel : A(-4, -3) , B(6, 2) , C(0, 4) 

Or tu as une propriété qui dit que //AB// = racine de ((xB - xA)^2 + (yB - yA)^2 + (zB -zA)^2) 

Ici, z = 0 pour tous les points, tu es dans le plan 

 

Donc maintenant on calcule : 

//AB// = racine de ((6-(-4))^2 + (2-(-3))^2) = racine de ((6+4)^2 + (2+3)^2) = racine de (10^2 + 5^2) = racine de (100 + 25) = racine de (125) = racine de (25 + 25 + 25 + 25 + 25) = racine de (5x25) = 5 racine de (5) (c'est de là que la prof sort le 5 vu que racine de 25=5)

 

Pour //AC// = racine de ((0-(-4))^2 + (4-(-3))^2) = racine de ((0+4)^2 + (4+3)^2) = racine de (4^2 + 7^2) = racine de (16 + 49) = racine de (65) 

 

On récapitule :

x//AB// = 10 ; y//AB// = 5 ; x//AC// = 4 ; y//AC// = 7

 

Maintenant on calcule le produit scalaire : 

Tu as une formule qui dit que AC.AB = x//AC// x x//AB// + y//AC// x y//AB// 

<=> AC.AB = 4x10 + 7x5 = 40 + 35 = 75 

 

Maintenant on reprend l'égalité de tout à l'heure et on a : 

AC.AB = //AB// x (//AH//)

<=> (//AH//) = (AC.AB) / //AB//

<=> (//AH//) = 75 / 5 racine de 5 

 

On simplifie le résultat (promis c'est bientôt fini) : 75 = 5x15 et donc on a (//AH//) = 5x15 / 5 racine de (5) => (on simplifie par 5) = 15/racine de (5) 

 

J'espère que je me suis pas trompée quelque part, j'ai pas trouvé la correction mais ça me paraît à peu près logique ce que j'ai écrit 

En tous cas si tu comprends mieux ma méthode que celle de la prof ça revient au même à la fin normalement, c'est juste que j'ai fait les calculs en plus d'étapes et elle les a faits différemment 

 

Voila bon courage

 

[khaled]

31 minutes ago, S2P2 said:

Salut !

Ce que tu as entouré correspond aux coordonnées du vecteur. En effet écrire les coordonnées sous la forme (10;5) revient à écrire (5*2;5*1).

Et on peut donc noter 5 | 2

                                        | 1

Ensuite ce que tu as souligné c'est l'application de la formule de la norme du vecteur. Je te mets la formule générale ici : √(x² + y²) ou √(x² + y² + z²) avec x, y, z les coordonnées (on a une coordonnée z seulement si on est en 3 dimensions).

Dans notre cas x = 10 et y = 5.

|| AB || = √(10² + 5²) = 5√5

C'est un calcul pas forcément facile à faire de tête à cause du nombre élevé sous la racine, et la calculatrice n'est pas autorisée à l'examen. Pour le simplifier on peut écrire les coordonnées sous la forme 5 | 2

                                                | 1

Ce qui nous permet d'écrire : || AB || = 5 * √(2² + 1²) = 5√5

Et là c'est faisable de tête. 

 

C'est mieux ?

C'est nettement mieux merci mais juste j'aimerais encore mieux comprendre le 5 pour quoi ce chiffre multiple la racine carrée parce que pour moi ||AB|| est égale à racine carré de 5 mais y'a le 5 qui la précède je comprends pas bien cette partie. Si tu pouvais m'expliquer avec un autre exemple ce serait top  

[Cassolnousmanque2]

il y a 20 minutes, khaled a dit :

j'aimerais encore mieux comprendre le 5 pour quoi ce chiffre multiple la racine carrée parce que pour moi ||AB|| est égale à racine carré de 5 mais y'a le 5 qui la précède je comprends pas bien cette partie. Si tu pouvais m'expliquer avec un autre exemple ce serait top  

regarde ma réponse je te l'ai expliqué ;)

[khaled]

27 minutes ago, Cassolnousmanque2 said:

Alors, j'aurai peut-être pas les explications exactes mais je vais essayer de t'expliquer la démonstration que j'ai trouvée (j'ai pas regardé la correction)

Tu pars du produit scalaire (je sais pas comment inclure les flèches donc je les mets pas mais évidemment elles y sont) : AC.AB 

Par définition normalement tu sais que : 

AC.AB = //AC// x //AB// x cos (AC.AB) -> (pareil je mets pas l'accent parce que je sais pas faire mais il y est), normalement je crois que vous voyez ça au lycée, de toute manière c'est rappelé dans le poly il me semble

 

Quand tu es dans un triangle rectangle (ce qui est le cas dans le triangle ACH qui est rectangle en H de par le fait que AH soit la projection orthogonale de AC et AB), alors :

cos = adj/hyp

Ici Adj = AH et Hyp = AC (c'est le côté le plus long) 

<=> Ici cos (AC.AB) =  (//AH//) / (//AC//)

 

Après tu remplaces dans ton égalité de départ : 

AC.AB = //AC// x //AB// x cos (AC.AB)

<=> AC.AB = //AC// x //AB// x (//AH//) / (//AC//)

 

Tu vois que tu as 1 //AC// en haut et 1 //AC// en bas donc tu peux simplifier ce qui donne : 

<=> AC.AB = //AB// x (//AH//)

 

Voilà tu as répondu à la première partie de la question

 

Pour la deuxième partie : 

Tu vas te servir des coordonnées de tes points A, B, C qu'on te donne au départ 

 

Pour rappel : A(-4, -3) , B(6, 2) , C(0, 4) 

Or tu as une propriété qui dit que //AB// = racine de ((xB - xA)^2 + (yB - yA)^2 + (zB -zA)^2) 

Ici, z = 0 pour tous les points, tu es dans le plan 

 

Donc maintenant on calcule : 

//AB// = racine de ((6-(-4))^2 + (2-(-3))^2) = racine de ((6+4)^2 + (2+3)^2) = racine de (10^2 + 5^2) = racine de (100 + 25) = racine de (125) = racine de (25 + 25 + 25 + 25 + 25) = racine de (5x25) = 5 racine de (5) (c'est de là que la prof sort le 5 vu que racine de 25=5)

 

Pour //AC// = racine de ((0-(-4))^2 + (4-(-3))^2) = racine de ((0+4)^2 + (4+3)^2) = racine de (4^2 + 7^2) = racine de (16 + 49) = racine de (65) 

 

On récapitule :

x//AB// = 10 ; y//AB// = 5 ; x//AC// = 4 ; y//AC// = 7

 

Maintenant on calcule le produit scalaire : 

Tu as une formule qui dit que AC.AB = x//AC// x x//AB// + y//AC// x y//AB// 

<=> AC.AB = 4x10 + 7x5 = 40 + 35 = 75 

 

Maintenant on reprend l'égalité de tout à l'heure et on a : 

AC.AB = //AB// x (//AH//)

<=> (//AH//) = (AC.AB) / //AB//

<=> (//AH//) = 75 / 5 racine de 5 

 

On simplifie le résultat (promis c'est bientôt fini) : 75 = 5x15 et donc on a (//AH//) = 5x15 / 5 racine de (5) => (on simplifie par 5) = 15/racine de (5) 

 

J'espère que je me suis pas trompée quelque part, j'ai pas trouvé la correction mais ça me paraît à peu près logique ce que j'ai écrit 

En tous cas si tu comprends mieux ma méthode que celle de la prof ça revient au même à la fin normalement, c'est juste que j'ai fait les calculs en plus d'étapes et elle les a faits différemment 

 

Voila bon courage

 

Ahhh d'accord c'est clair pour moi maintenant, tu me sauves

merci pour tous tes efforts

Spoiler

7 minutes ago, Cassolnousmanque2 said:

regarde ma réponse je te l'ai expliqué 

j'étais justement entrain de la lire ! mais j'avoue que j'aurais du regarder avant de reposer la question question, hélas

 

[Cassolnousmanque2]

Aucun soucis ! Le principal c'est que tu aies compris maintenant !!

Bon courage pour la suite !!