Différentielles exactes

[Dr31100]

Bonjour je n'arrive pas à trouver les différentielles exactes dans les qcm, je comprend les démonstrations mais je n'arrive pas à l'appliquer. Est ce que par exemple en prenant le qcm n°6 du thème 5 quelqu'un pourrait me l'expliquer en détaillé svp

[Insolence]

Coucou !

On nous propose donc deux formes différentielles dans ce QCM :

ω1 = x * dy + y * dx

ω2 = x * dy − y * dx

Item A : "ω1 est une différentielle totale exacte" :

Ici il faut que tu appliques la relation de Cauchy (cf le cours) pour voir si c'est bien le cas. En gros tu vas dériver x en fonction de x et y en fonction de y (tu dérives en inversant ce qu'il y a après les petits d):

∂x/∂x = 1 et ∂y/∂y=1

Donc on a bien :

∂x/∂x=∂y/∂y

Notre relation est vérifiée, on est content : l'item est juste.

 

Item B : "ω2 est une différentielle totale exacte" :

Même chose on réutilise la relation de Cauchy:

∂x/∂x = 1 et ∂(-y)/∂y=-1

Relation cette fois non-vérifiée et item faux ;(

 

Item C : "ω1 + ω2 est une différentielle totale exacte" :

Première chose à faire : exprimer la somme de nos deux petites différentielles comme une seule grosse différentielle (rien de sorcier rassure toi):

ω1 + ω2 = x * dy + y * dx + x * dy − y * dx

ω1 + ω2 = dy *(x + x)  + dx * (y - y) 

ω1 + ω2 = 2x * dy + 0 *  dx 

(le coloriage c'est pour mettre en valeur la factorisation tkt)

Maintenant qu'on a notre grosse différentielle on utilise *roulement de tambour* la relation de Cauchy ! Pareil que pour les deux autres item, on dérive et on revérifie :

∂2x/∂x = 2 et ∂0/∂y=0 

Là encore la relation n'est pas vérifiée. Item faux.

 

Item D : "La fonction f1(x, y) = xy a pour différentielle totale la forme différentielle ω1" :

Pour vérifier cette affirmation je préfère dériver la fonction qui m'est proposée et voir si ça colle. Donc :

∂f1/∂x=y et ∂f1/∂y=x

df1 = y * dx + x  * dy

Si on compare notre résultat a ω1 (ω1 = x * dy + y * dx) on voit bien que c'est la même chose donc item vrai.

 

Item E : "La fonction f2(x, y) = x − y a pour différentielle totale la forme différentielle ω2" :

Même chose qu'à l'item précédent :

∂f2/∂x=1 et ∂f2/∂y=-1

On peut déjà s'arrêter là car on s'aperçoit que les résultats ne colleront jamais 

 

Voili voilou dis moi si c'est pas assez complet ou que quelque chose te gènes

[lucidre]

Coucou!

Je suis tombée sur ce post donc je me suis dis que tu pourrais peut-être m'aider. J'ai du mal avec l'item E du qcm 10, pourrais-tu m'éclairer ?

 

https://www.zupimages.net/viewer.php?id=22/01/kv10.jpg

 

Merci d'avance !! :)

@Insolence

[Insolence]

Coucou @lucidre!

Je suis un peu beaucoup rouillée en maths mais je vais essayer de t'aider ;) :

dS = a * dT/T + R * dV/V

dS = a/T * dT + R/V * dV

 

Si on pose :

- A(V,T) = a/T 

- B(V,T) = R/V

 

On a :

- (∂A/∂V)_T = 0

- (∂B/∂T)_V = 0

 

Donc :

(∂A/∂V)_T = (∂B/∂T)_V

 

Donc la relation de Cauchy est vérifiée donc dS est une DTE donc l'item est vrai.

 

C'est bon pour toi ?

[lucidre]

  On 3/15/2023 at 4:06 PM, Insolence said:

Coucou @lucidre!

Je suis un peu beaucoup rouillée en maths mais je vais essayer de t'aider ;) :

dS = a * dT/T + R * dV/V

dS = a/T * dT + R/V * dV

 

Si on pose :

- A(V,T) = a/T 

- B(V,T) = R/V

 

On a :

- (∂A/∂V)_T = 0

- (∂B/∂T)_V = 0

 

Donc :

(∂A/∂V)_T = (∂B/∂T)_V

 

Donc la relation de Cauchy est vérifiée donc dS est une DTE donc l'item est vrai.

 

C'est bon pour toi ?

Expand  

super merci tu gères !! Juste une dernière question, comment ça te vient A=a/T et B=R/V parce que pour moi c'est pas vraiment instinctif

[Insolence]

  On 3/15/2023 at 8:01 PM, lucidre said:

comment ça te vient A=a/T et B=R/V parce que pour moi c'est pas vraiment instinctif

Expand  

En fait je bouge un peu les terme de dS de manière à avoir dT et dV bien séparer de la dérivée en elle même. Si je détaille un peu plus ça donne :

 

dS = a * dT/T + R * dV/V

dS = a * dT * 1/T + R * dV * 1/V

dS = a * 1/T * dT + R* 1/V * dV

dS = a/T * dT + R/V * dV

 

C'est plus clair @lucidre?

[lucidre]

  On 3/15/2023 at 9:51 PM, Insolence said:

En fait je bouge un peu les terme de dS de manière à avoir dT et dV bien séparer de la dérivée en elle même. Si je détaille un peu plus ça donne :

 

dS = a * dT/T + R * dV/V

dS = a * dT * 1/T + R * dV * 1/V

dS = a * 1/T * dT + R* 1/V * dV

dS = a/T * dT + R/V * dV

 

C'est plus clair @lucidre?

Expand  

 

ok je vois parfait, merci beaucoup!!