recherche d'extremum local

[camilleb]

bonjour, je suis un peu perdu dans la recherche des extremums local!!

quand on a une fonction a une seule variable, x par exemple comme dans f(x)= 2xe^(x²+1), comment on procède?!

et quand on a une fonction de plusieurs variables, x et y par exemple g(x)=y²+x², comment on procède?! après les question du genre est-ce que c'est un minimum/maximum local, un point critique, je ne sais pas quelle sont les méthodes a suivre pour y répondre?! ( je fais plein de calculs sans trop savoir où je vais!)

je suis complètement embrouillée!!! merci d'avance !

camille

[Paul_M]

Alors pour une fonction a une variable il faut commencer par dériver la fonction:

f(x)= x² => f'(x)=2x

on repère ensuite les points critiques, c'est à dire les point pour lesquels f'(x)=0 ici lorsque x=0

ensuite on vérifie que f'(x) change de signe lorsque x passe d'une valeur inférieur à une valeur supérieur à la/aux valeur(s) trouvée(s) précédemment et que f(x) est continue en ces points.

Pour vérifier tout ça une solution est de calculer f(0) et les limites de f lorsque x approche 0 par valeurs positives et négatives. Ou pour des fonctions simples comme ici on voit que si x0 alors f'(x)>0 donc il y a changement de signe, f est continue en x=0 donc 0 est un extrémum local.

Pour utiliser ton exemple:

f(x)= 2x e^(x²+1) => f'(x) = (4x²+2) e^(x²+1) => f'(x)>0 quelque soit x donc pas de point critique donc pas d'extrémum local.

 

Pour une fonction à deux variables ou plus g(x;y)=x²+y² on vous demandera seulement si un point est un extrémum local par exemple (0;0) est il un extrémum local?

 

On utilise les dérivation des application partielles

1) avec pour valeur fixe y₀=0 car on cherche à savoir si (0;0) est un extrémum local: g(x;0)=x²; on regarde maintenant si x=0 est un extrémum local de cette fonction, comme On l'a vu juste au dessus c'est le cas.

 

2) On recommence avec la deuxième application partielle g(0;y), même résultat.

 

3) Il ne reste plus qu'à vérifier que ce point n'est pas un point selle. Pour ça je fait à l'instinct mais la réelle méthode est d'utiliser une matrice hessienne; perso je vous expliquerait pas mieux que ça, mais peut être un autre tuteur? :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Point_selle#Utilisation_de_la_hessienne