TD1 de Mathématiques

[FowlMax]

Bonsoir,

 

J'ai une petite (grosse ?) incompréhension sur l'emploi de termes en ce qui concerne les incertitudes et les variations infinitésimales.

 

En partant de cette fonction :

 

[latex]dV = \frac{q.a}{4 \pi \epsilon_0}\left(\cos\theta \frac{-2}{r^3}dr-\frac{\sin \theta}{r^2} d\theta\right)[/latex]

 

Et avec ces deux énoncés :

 

D - On reprend la fonction [latex] V(r, \theta) = \frac{ q.a.\cos \theta }{4 \pi \epsilon _0r^2}[/latex] de la question c. Si on fixe r = r₀ , une variation infinitésimale de \theta autour de la valeur 0 n'a aucune influence sur le potentiel V.

Vrai.

E - On reprend la fonction [latex] V(r, \theta) = \frac{ q.a.\cos \theta }{4 \pi \epsilon _0r^2}[/latex] de la question c . Si on fixe [latex] \theta = \pi[/latex] alors une augmentation infinitésimale de r autour d'une valeur r₀ fixée provoque une diminution infinitésimale du potentiel V.

Faux.

 

Je ne comprend pas pourquoi à la E, on nous donne comme explication que ce n'est pas une diminution puisque :

 

- Le second facteur s'annule pour donner : [latex]dV = \frac{q.a}{4 \pi \epsilon_0}\left(\frac{2}{r^3}dr\right)[/latex]

 

Mais je ne comprend pas puisque le r³ est au dénominateur, donc logiquement une augmentation de celui-ci devrait entraîner la diminution de V ?

Or dans la correction on évoque que la variation infinitésimale se produit en fonction de dr.

 

Du coup, ma "véritable" question :

Si l'on parle de variation infinitésimale, on évoque la différentielle, et l'on se base sur les facteurs dr et d[latex]\theta[/latex] // et si l'on parle d'incertitude, on emploie alors une variation [latex]\Delta[/latex], et l'on fait varier les facteurs r et [latex]\theta[/latex] ?

 

Merci d'avance

[Paul_M]

Salut,

 

Alors je ne vais pas être très précis, ça fait un moment que je ne pratique plus beaucoup, mais voici ce que j'ai a te dire sur ces items:

 

D est vrai car tu peux résumer ta fonction sous le terme f(θ)=a*cos(θ) et cos(0)=1 et d(cos(1))=0

 

E est faut car tu peux résumer ta fonction sous le terme g(r )=a/r² donc g'(r )=-a/r³ et que pour r₀= -1 par exemple une faible augmentation de r autour de r₀ donne une augmentation de g(r ) puisque g'(-1)=a (en partant du principe que a est positif, à vérifier avec les données de ton énoncé) de même si r0 est très petit, de l'ordre de 10^-100 par exemple, une faible variation pourrait avoir une grande influence sur la valeur du bordel.

 

Du coup pour ta question de vocabulaire, j'ai l'impression que c'est effectivement la convention, mais même si ça semble beaucoup inquiéter les PACES ça ne me semble pas important (tant pour les mathématiques que pour le concours)

[FowlMax]

Lorsque tu parles de "résumer", tu veux dire que tu prends seulement le facteur qui est une variable et que tu considère le reste comme une unique constante = a ?

 

Sur ce passage : "pour r₀= -1 par exemple une faible augmentation de r autour de r₀ donne une augmentation de g(r ) puisque g'(-1)=a (en partant du principe que a est positif, à vérifier avec les données de ton énoncé)"

 

Tu cherches le signe de la dérivée en un point pour vérifier si elle est positive, et donc démontrer ou non la croissance de la fonction ?

 

Je reste sceptique sur cette histoire de vocabulaire, car à la fin du cours sur l'analyse, il y a des exemples de "Si ce terme est connu sans incertitude, alors en augmentant cet autre terme de 10 (par exemple), on aura un augmentation/diminution", en montrant que lorsque l'incertitude disparaît, donc de la forme "" (incertitude), alors le facteur x disparait (et donc ce qu'il y a devant avec). Il ne reste alors plus qu'à traiter la VARIABLE sur laquelle on effectue les variations.

 

Alors que dans son TD (donc ce que j'ai écris sur ce sujet), elle démontre d'abord que tout ce qui est constant (et que tu as résumé par a je crois) est positif ou négatif, et ensuite dit que si le facteur "a" (constant) est positif, et qu'on opère une augmentation infinitésimale (donc augmentation d'un facteur dx par exemple) alors il y a augmentation, ou diminution si la constante a était négative. Etc

 

En fait, autant je trouve très simplement les incertitudes absolues (à partir de la différentielle que l'on maximise) ou l'incertitude relative (à partir de la dérivée logarithmique), autant je ne comprend pas forcément où le prof veut en venir dans sa question (selon qu'il/elle parle de variation infinitésimale ou incertitude, ce qui me semble ne pas être exactement pareil, vu que l'un part d'une dérivée logarithmique, alors que l'autre c'est simplement en maximisant la différentielle).

 

Merci pour le temps que tu prends, les questions sont un peu chiantes, mais bon

[Paul_M]

Oui, c'est ce que j’entends par résumer.

 

Oui je cherche la dérivé en un point, est je regarde son signe, simplement cette méthode marche uniquement pour prouver que l'affirmation est fausse par ce que tu peux trouver des valeurs de r₀ pour lesquelles l'affirmation est vérifiée (c'est ce probablement ce qui t'as induit en erreur ici d’ailleurs).

 

Pour en revenir au vocabulaire, attention, je dit juste qu'il ne me semble pas important de vérifier que l'on utilise le terme Δ ou le terme d (après j'ai peut être perdu des points bêtement pendant ma PACES qui sait ^^ ). Par contre les termes incertitudes et variations sont bien à différentier. Car même si incertitude et variation influencent ton résultat, l'incertitude n'est pas connue alors que la variation peut être détectée.
Petit exemple:
Tu sais que la hauteur maximale que peut atteindre un perchiste dépend du sens et de la valeur du vent.

Tu place un anémomètre sur la piste, il te donne une valeur de23km.h^-1 avec une incertitude de 2km.h^-1.

Maintenant tu es dans un jour ou le vent souffle à une vitesse non constante comprise entre 21 et 25km.h^-1. Tu connais la vitesse du vent, mais elle peux changer, c'est une variation et ça ne se prends pas en compte de la même façon.

Dans un cas la variable est connue avec une incertitude dont tu dois tenir compte pour tes calculs, et dans l'autre elle est connue sans incertitude, mais comme elle peux changer le temps que tu ai les résultats et que tu fasse tes calculs et que tu te lance tu doit faire des calculs qui prennent en compte cette possible variation.

Et comble du bonheur dans les fait tu peux avoir une mesure incertaine d'une valeur qui peut changer.

[FowlMax]

Merci beaucoup pour tes réponses bien expliquées. Je pense à peu près avoir saisis les nuances (ça rentrera même mieux avec le temps je pense).

Le raisonnement avec la dérivée me sera d'ailleurs bien utile je pense !