TCL

Stark23 · December 26, 2020

Bonjour je ne comprends pas très bien la correction pour les item B et C... et j'ai du mal à voir comment marche le TCL

Nomie · December 26, 2020

Salut !

Est ce que tu peux me donner la correction que tu ne comprends pas stp ?

Stark23 · December 27, 2020

@Nomie en gros j'ai du mal avec le TCL...

Chat_du_Cheshire · December 27, 2020

il y a une heure, Stark23 a dit :

@Nomie en gros j'ai du mal avec le TCL...

je pense qu'elle demande la correction du QCM haha

Yoshi · December 28, 2020

Salut à toi @Stark23 !

Je vais tenter de t'expliquer le théorème central limite, s'il y a des notions floues tu n'hésites pas à le dire (j'essaie d'être le plus clair possible mais ça marche pas à tous les coups ).

L'idée principale c'est que si tu essaies d'estimer une loi X de paramètres $\mu$ et $\sigma^{2}$ via une loi M estimant X grâce à un échantillon alors plus ton échantillon comporte beaucoup de personne plus ta loi estimant X tend vers une loi normale centrée sur $\mu$ . Donc en résumé plus tes échantillons sont grands plus tes estimations sont précises et tendent vers la moyenne de la population.

Ensuite, on applique le TLC soit à des variables quantitatives soit des variables binaires :

--> Variables quantitatives : si on ne te précise rien sur ta variable (genre quelle a une distribution normale ou non, biaisée,...) tu considères quelle est normalement distribuée si $n\geq 30$ (à partir de ce seuil le TLC s'applique du coup on peut approximer par une loi normale). Si c'est le cas tu as des propriétés que tu peux utiliser :

$E(X)=\mu$ en effet, ta loi normale sera centrée sur la vraie moyenne de la population donc $\mu$ .
$V(X)=\frac{\sigma ^{2}}{n}$ alors c'est une partie délicate à comprendre (tu te dis sûrement mais pourquoi la variance n'est pas égale à celle de la population si le TLC s'applique ?) et bien il y a une raison à ça, je t'ai dis au départ qu'on avait une loi normale centrée sur la moyenne $\mu$ du coup plus n augmente plus la loi normale "se réduit" autour de la moyenne $\mu$ (je sais pas si tu vois ce que je veux dire, notre estimation de la moyenne étant plus précise on se rapproche de plus en plus de $\mu$ du coup la variance autour de l'estimation diminue comme on est de plus en plus précis). D'où le fait que la variance tend vers 0 quand n augmente (donc la variance de l'estimation est plus faible que la vraie variance de la population).

--> Variables binaires : ici la variable suit une loi de Bernoulli donc les conditions sont différentes, il te faut $n\pi \geq 5$ et $n(1-\pi) \geq 5$ pour que le TLC s'applique et dire que cette variable suit une loi normale (toujours pareil si on ne t'as rien dit sur cette variable). Même chose, l'application du TLC nous offre des propriétés :

$E(X)=\pi$ même chose qu'avant sauf qu'ici $\pi$ à la place de $\mu$
$V(X)=\frac{\pi (1-\pi )}{n}$ pareil que tout à l'heure (je te refais pas mes explications).