Qcm maths

Lilou · October 6, 2020

Bonjour, est ce que quelqu'un pourrait m'expliquer ces items :

https://zupimages.net/viewer.php?id=20/41/48q7.png

https://zupimages.net/viewer.php?id=20/41/qold.png

QCM item E https://zupimages.net/viewer.php?id=20/41/p3x0.png

QCM item C et E https://zupimages.net/viewer.php?id=20/41/dizh.png

Voila merci d'avance

Yoshi · October 7, 2020

Salut @Lilou ! Je vais répondre dans l'ordre de tes questions donc les numéros des QCM c'est le même que celui de tes images.

QCM 1 :

C) Faux : Pour cet item il faut calculer les dérivées partielles et ensuite faire la différentielle. Alors, juste avant de faire les dérivées partielles je préfère modifier l'écriture de la fonction f : $f(x) = \frac{e^{x}}{e^{-y}} = e^{x}e^{-y}$ . Donc, on commence avec la première dérivée partielle : $\frac{df}{dx} = e^{x}e^{-y}$ puis on fait la seconde $\frac{df}{dy} = -e^{x}e^{-y}$ . Donc la différentielle c'est $df = e^{x}e^{-y}.dx - e^{x}e^{-y}.dy$ or l'exponentielle n'est pas annulable (jamais égale à 0), donc il n'existe pas de point critique pour cette fonction.

D) Faux : Comme c'est la même fonction que l'item C, il te faut utiliser ce que tu as trouvé pour répondre. En effet, petit rappel de cours : un extremum est une valeur pour laquelle la différentielle s'annule et change de signe, alors qu'un point critique c'est seulement une valeur pour laquelle la différentielle s'annule. Du coup, un extremum est forcément un point critique (alors que l'inverse est faux : un point critique n'est pas forcément un extremum !!!). Or on sait que la fonction n'avait pas de point critique, donc elle ne peut pas avoir d'extremum non plus.

E) Faux : c'est la même chose que l'item D.

QCM 2 :

D) Vrai : $lim_{x \to 0} \frac{tan(x)}{x} = \frac{0}{0}$ ce qui est une forme indéterminée (je suis désolé pour la notation elle n'est pas stricte mais je sais pas faire mieux à l'ordi ). Du coup, on fait le développement limité de en 0. ; $tan'(x) = \frac{cos^{2}(x)+sin^{2}(x)}{cos^{2}(x)}$ (pour faire la dérivé tu te souviens que $tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}$ du coup c'est la dérivé d'un quotient. Donc, $tan'(0) = \frac{cos^{2}(0)+sin^{2}(0)}{cos^{2}(0)} = \frac{1 + 0}{1} = 1$ . On remplace dans la formule du développement limité et on utilise ce résultat pour calculer la dérivée (en enlevant le puisqu'il tend vers 0 par définition). Du coup, $lim_{x\rightarrow 0}\frac{tan(x)}{x} = \frac{x}{x} = 1$ (et par définition tu sais que si le quotient de 2 fonctions fait 1 lorsque tu calcule une limite alors c'est 2 fonctions sont équivalentes en ce point ou en l'infini, ça dépend de la limite que tu as fait. Ici c'est en 0.)

QCM 3 :

E) Faux : d'après la courbe on peut dire qu'il y a 2 extrema locaux (un à chaque "pointe des 2 bosses" j'avoue que là je sais pas trop comment décrire la courbe), mais seulement 1 des 2 semble être un minimum l'autre est un maximum.

QCM 4 :

C) Faux : Attention à la notation sur cet intervalle $cos(x)\leq 0$ !! En effet, $cos(\frac{\pi }{2}) = 0$ !

E) Vrai : Pour savoir le sens de variation de ta fonction il faut calculer la dérivée et étudier son signe (Pour rappel : si la dérivée est positive alors la fonction est croissante, si elle est négative alors la fonction est décroissante). $f'(x) = -5*(-\frac{-\pi 2x}{(x^{2}+1)^{2}})*sin(\frac{\pi }{x^{2}+1}) = -5*\frac{\pi 2x}{(x^{2}+1)^{2}}*sin(\frac{\pi }{x^{2}+1})$ . Maintenant, on regarde le signe de cette dérivée en décomposant : est toujours négatif, ensuite comme on ne s'intéresse qu'à l'intervalle $\left [ 0 ; 1 \right ]$ on remarque que $\pi 2x \geq 0$ sur cet intervalle et on sait que $(x^{2}+1)^{2}> 0$ (puisque c'est au carré). Du coup il ne reste plus qu'à chercher le signe de $sin(\frac{\pi }{x^{2}+1})$ , pour ce faire on va partir de l'intervalle.

On sait que : $0\leq x\leq 1 \Leftrightarrow 0\leq x^{2}\leq 1\Leftrightarrow 1\leq x^{2}+1\leq 2\Leftrightarrow \frac{1}{1}=1\geq \frac{1}{x^{2}+1}\geq \frac{1}{2}\Leftrightarrow \pi \geq \frac{\pi }{x^{2}+1}\geq \frac{\pi }{2}\Leftrightarrow sin(\pi )\leq sin(\frac{\pi }{x^{2}+1})\leq sin(\frac{\pi }{2})\Leftrightarrow 0\leq sin(\frac{\pi }{x^{2}+1})\leq 1$ Du coup, $sin(\frac{\pi }{x^{2}+1})\geq 0$ du coup la dérivée correspond à une multiplication d'une valeur négative par 2 valeur positive ce qui donne un résultat négatif, donc la fonction f est décroissante.