1111 Posted January 4, 2015 Posted January 4, 2015 Bonjour, J'ai un problème avec 2 QCM. Le premier a déjà été expliqué sur le forum mais je n'ai pas compris l'explication donnée, ce sont les items B et C sur les quels je bloque, j'ai remplacé m par les valeurs données puis simplifié au maximum mais après je n'arrive pas à trouver pourquoi ce ne sont pas des valeurs de m valables. Je suis même entrain de me demander si il fallait simplifier pour pouvoir trouver la solution ... QCM 22 : Soit f(x)=(2x²+mx+1)/(x+1) : déterminer m pour que la fonction définie par f(x) ait une asymptote oblique passant par l'origine. On nommera cette AO : E(x). A. E(x)= ax. VRAI B. m=0. FAUX J'arrive à f(x) = 2x - (2x+1)/(x+1) C. m=1. FAUX Et ici j'obtient f(x) = (x+1) D. lim (x->+∞) f(x) = +∞ VRAI E. E(0)=1 FAUX QCM 31 : Soit f la fonction définie par f(x) = −cos(x)/sin (x). Indiquer si les propositions sont vraies ou fausses : B. f est périodique de période π. FAUX Je l'avais trouvé vrai car f(x) = -1/tan (x) donc pour moi si tan (x) a une période π alors -1/tan (x) a aussi une période π. D. f '(x) = 1/sin²(x). VRAI Je n'arrive pas calculer cette dérivé, au mieux et plus simplifier je trouve 1 - (cos² (x)/sin² (x)). Comment est ce que je peux simplifier plus ? Merci de votre aide
Solution Charly Posted January 6, 2015 Solution Posted January 6, 2015 Salut Capucine Alors, pour ta première question, déjà, je pense pas que ta méthode soit idéale. Quand tu te lances dans des calculs en maths, tu dois déjà avoir un objectif en tête : vu la durée de l'épreuve, tu n'as pas le luxe de pouvoir avancer à l'aveuglette en espérant trouver un résultat (et d'ailleurs le plus souvent, on n'aboutit à rien ^^" ). Ici, donc, on te demande de trouver une valeur de m pour laquelle ax sera une aymptote oblique à la courbe. D'après ton cours, pour ça, il faut que tu aies : [latex]\lim_{x \rightarrow + \infty} f(x) - ax =0[/latex]. Ou encore, en avançant un peu : [latex]\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac {2x^2+mx+1}{x+1} - ax = \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac {2x^2+mx+1}{x+1} - \frac {ax^2+ax}{x+1} =\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac {(2-a)x^2+(m-a)x+1}{x+1}=0[/latex]. Ca c'est ce que tu cherches à obtenir : la valeur de m voulue devra respecter cette équation. Tu peux soit essayer de la trouver directement, soit vérifier si les valeurs qu'on te propose peuvent fonctionner (on va faire la première méthode là, ça évitera de se répéter ). Sauf que là, on va trouver un premier obstable : si on cherche la limite de ça, en eimplifiant les polynômes, on trouve : [latex]\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac {(2-a)x^2+(m-a)x+1}{x+1} =\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac {(2-a)x^2}{x}= \lim_{x \rightarrow + \infty} (2-a)x[/latex]. On voit donc que la limite ne peut pas du tout être 0 (et ça, ça nous arrange pas vraiment), sauf dans un cas, si a=0. Bon, tu vas me dire qu'on cherche pas vraiment a normalement; mais on avance ^^ Maintenant qu'on a a, la formule change, puisque le premier monôme disparaît. On se retrouve donc avec : [latex]\lim_{x \rightarrow + \infty} f(x) - ax = \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac {(m-2)x+1}{x+1} = 0[/latex] Donc, toujours en prenant les monômes de plus haut degré, on finit avec : [latex]\lim_{x \rightarrow + \infty} f(x) - ax =\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac {(m-2)x}{x} = \lim_{x \rightarrow + \infty} m-2 = 0[/latex] Et là, on y est, pour que la limite soit égale à 0, il faut que m soit égal à 2, ce qui rend les deux propositions fausses On aurait pu aussi remplacer m dans les formules à plusieurs moments, mais ça simplifiait pas vraiment la méthode, ça faisait que doubler certaines étapes. Alors, je sais que comme ça, ça a l'air un peu long, mais avec un peu d'entraînement, ça peut se faire assez vite. Pour le QCM 31, maintenant (promis, ça ira plus vite ) La B, ben honnêtement, je suis assez d'accord avec toi, je vois pas où ça cloche ^^" ça vient d'où ? (si c'est le poly de Noël, faut pas faire gaffe ) Pour la D, on applique [latex]\frac {u'v-uv'}{v^2}[/latex], ce qui te donne normalement (en simplifiant le - ) : [latex]f'(x) = \frac {\sin^2(x) + \cos^2(x)}{\sin^2(x)}[/latex] (mais ça apparemment, tu l'as trouvé). Sauf que là, il faut savoir que [latex]\sin^2(x) + \cos^2(x)=1[/latex] (basiquement, c'est le théorème de Pythagore appliqué au cercle trigo, mais l'idéal c'est de connaître la formule). Et en remplaçant, on retombe sur la correction Voilà, j'espère que c'était assez clair, et que ça t'aidera un peu Bon courage pour les révisions
1111 Posted January 7, 2015 Author Posted January 7, 2015 Pour la 22 c'est beaucoup plus clair, il faudra "juste" que je pense à faire tout ça mardi... Le QCM 31 vient du TAT mais pas de du poly de noël, celui où il y a les cours. Merci merci merci !
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