DL et limites

[chavanpro]

Bonjour (et bonne année...!!) 

alors j'ai un petit problème, c'est à dire que je suis en train de me rendre compte que je ne comprend pas la relation avec le développement limite que l'on peut trouver sur une fonction et la limite même de cette fonction... (en gros comment trouver une limite à partir du DL), je sais pas si c'est possible de l'expliquer sans véritable exemple (je ne comprends pas celui du cours notamment) 

je suis désolée pour cette question qui peut paraitre un peu bête mais maintenant que je me suis rendue compte que je comprenais pas je bloque complètement dessus... merci de m'aider...

[Ciindy]

Bonsoir,

 

En fait tu as du voir au lycée que l'un des moyens de résoudre des formes indéterminées de limites c'est de procéder à des changements de variable. Le DL te permet de procéder à des changements de variables, en écrivant notamment des fonctions différemment. C'est le cas de la fonction ln (z +1) que l'on te propose d'écrire ln 1 + z + o(z) dans l'exemple du cours.

 

Dis moi si tu veux plus de détails

[chavanpro]

Bonsoir, merci pour ta réponse, mais j'avoue, je veux bien un peu plus de détails...

[Ciindy]

Je vais reprendre l'exemple du cours.

 

Tu as une F.I. pour lim (-V'/kVz) * ln(z+1) quand z tend vers 0 puisque (-V'/kVz) tend vers l'infini et ln(z+1) vers 0.

 

L'idée : écrire ln(z+1) sous une autre forme.

 

Dans le cours, un DL d'ordre 1 au voisinage d'un réel x s'écrit : f(x+h) = f(x) + f'(x).h + o(h), h désignant une marge d'erreur donc h proche de 0.

 

Par analogie, dans le cas où z tend vers 0, tu peux donc écrire : ln(1+z) = ln(1) + ln'(1).z + o(z).

 

ln(1) = 0 et la dérivée de ln x est 1/x donc ln'(1) = 1/1 = 1 d'où le second terme du DL : ln'(1).z = z.

 

J'ai donc pour le DL : ln(1+z) = z + o(z).

 

Je peux alors substituer ceci dans la limite : lim (-V'/kVz) * ln(z+1) = lim (-V'/kVz) * (z + o(z)), toujours avec z tendant vers 0.

 

On développe l'expression : (-V'/kVz) * (z + o(z)) = (-V'/kVz * z) + (-V'/kVz * o(z)) = (-V'/kV) + (-V'/kVz * o(z)).

 

On peut alors factoriser à nouveau : (-V'/kV) + (-V'/kVz * o(z)) = (-V'/kV) (1 + o(z)) (dans le cours o(z) est remplacé par epsilon(z) c'est la même chose.

 

On a ainsi supprimer la FI puisque on peut calculer la limite de cette expression quand z tend vers 0 : lim (-V'/kV) (1+o(z)) = -V'/kV.

 

 

J'espère que l'exemple du cours est maintenant un peu plus clair pour toi. Ce sont des choses auxquelles on ne pense pas quand on est coincé face à une limite, mais le DL peut être utile. C'est vraiment la forme de l'expression qui doit te guider : ln(1+z) avec z tendant vers 0 ça ressemble beaucoup à l'expression du DL. 

 

Ne te fais pas trop peur avec ça non plus, le concours n'est pas basé là-dessus, ce sera au pire un item.

 

Bon courage, et n'hésite pas à me requestionner si tout n'est pas encore clair

[Charly]

Salut !

 

Je viens apporter mon complément, parce que, allez savoir pourquoi, j'ai toujours eu du mal avec les exemples du cours ^^"

 

Ce que je conseille de retenir, pour ma part c'est ça : [latex]\lim _ {x \rightarrow a} f(x) = \lim _ {h \rightarrow 0} f(a+h) [/latex]

Si on se penche un peu dessus, la formule est assez logique : dans tous les cas, on cherche l'image d'un nombre qui tend vers a. Et les conséquences en sont très intéressantes : si on cherche la limite d'une fonction en un réel, on peut remplacer la fonction par son développement limité en ce réel (ça implique d'intégrer une nouvelle variable h ; faut pas s'emmêler les pinceaux, mais c'est pas si compliqué que ça en fait).

En poursuivant, on obtient [latex]\lim _ {x \rightarrow a} f(x) = \lim _ {h \rightarrow 0} f(a+h) = \lim _ {h \rightarrow 0} f(a) + hf'(a) + o(h) [/latex]. Ceci, en sachant qu'on peut négliger le o(h), et que le f(a) est souvent de 0 (parce qu'on l'utilise souvent pour les formes indéterminées).

 

On peut utiliser ça avec la fonction étudiée complète, ou seulement avec des parties de celle-ci, comme un numérateur, ou un dénominateur, ou les deux séparément (c'est clairement comme ça que je l'utilise le plus souvent, dans les formes indéterminées [latex]\frac {0}{0}[/latex] : c'est beuacoup plus facile que de dériver la fonction entière).

 

Voilà, j'espère qu'avec ces deux explications, ça sera un peu plus clair pour toi

 

Bonne journée !

[chavanpro]

Merci bcp à vous deux pour ces réponses claires et très complètes ! je pense avoir compris, je vais essayé de me réentraîner avec ça et voir ce que ça donne! 

bonne soirée, et encore merci