AlineB Posted January 1, 2015 Posted January 1, 2015 Bonjour, en refaisant le TD 1 sur moodle, cet item me pose problème : "La différentielle en (0,0) de la fonction est une application linéaire permettant de construire le plan tangent à la surface au point de coordonnées " : VRAI car f(0,0) =1 je ne vois pas le rapport de la réponse, et comment sait on qu'il s'agit d'un plan tangent à la surface ? je sais juste d'après le cours que chaque dérivée partielle correspond graphiquement à une section de la surface par un plan vertical mais ici, je ne visualise pas trop ce qu'on nous demande ... Merci et bonne année à tous ! Aline
Solution Charly Posted January 2, 2015 Solution Posted January 2, 2015 Salut Aline Avant de commencer, juste pour qu'il n'y ait pas de confusion par la suite, la section de la surface par un plan ne correspond pas aux dérivées partielles, mais aux applications partielles (vaut mieux éviter de confondre les deux au concours ) Après, pour ton problème, on a dû vous expliquer que pour une fonction à une variable, la dérivée détermine le coefficient directeur de la tangente à la courbe, en un point déterminé. Avec plusieurs variables, la différentielle est équivalente à la dérivée, sauf qu'on ne raisonne plus en deux dimensions. Une fonction à deux variables est représentée par une surface, et la différentielle caractérise un plan tangent à cette surface, toujours en un point précis (le raisonnement est le même, mais on ajoute une dimension). De même que la dérivée ne correspond qu'au coefficient directeur de la tangente, la différentielle ne déterminera que l'inclinaison du plan, qu'il faut encore situer dans l'espace. Pour cela, il te faut connaître en plus un point de ce plan. L'avantage, c'est que tu en connais un : tu sais que le plan est tangent à la surface représentative de f, en (0;0). Ça veut dire que le point du plan pour lequel x=0 et y=0 appartient également à la surface (il s'agit du seul point d'intersection). Du coup, ça te permet de situer ce point, puisque si il appartient à la courbe représentative de f, sa troisième coordonnée respecte l'équation de la surface, soit z = f(0,0). Or, f(0,0) = 1. Tu en déduis que le point dont on parle a pour coordonnées (0;0;1). En bref, la différentielle détermine un plan tangent à la surface en un point de coordonnées (x,y,z) = (0;0;1). La question demande que de restituer une définition de la différentielle, et de l'appliquer à ce cas. La seule inconnue qu'on te demande est donc la troisième coordonnée du point en lequel le plan est tangent, c'est pourquoi la correction se limite à cela. Voilà, j'espère que c'est assez clair. C'est sûr que c'est pas évident à expliquer comme ça, donc si y a un souci, n'hésite pas à le dire Bonne soirée (et bonne année aussi, tiens) !
AlineB Posted January 2, 2015 Author Posted January 2, 2015 Coucou ! Un grand merci pour ta réponse, qui est suuuuper claire !!! c'est super gentil d'avoir passé autant de temps à écrire une réponse détaillée et précise !! Merci beaucoup , et bonne soirée !
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