Diverses questions CB 2013

[Angele]

Bonjour,

 

En refaisant le concours blanc de maths de l'an dernier je me suis rendue compte qu'il y avait certaines choses que je n'arrivais vraiment pas à faire..

 

QCM 1 :

E. " f est le produit de deux fonctions g et h, telles que g(x) = e ^ (x² + 1) et h(x) = 2x, chacune strictement croissante sur son domaine de définition. f est donc strictement croissante sur son domaine de définition" --> faux : pour moi le produit de deux fonctions croissant est croissant..

 

QCM 2 :

" La loi de Van Der Waals donne une équation d'état pour les gaz réels, qui s'écrit sous la forme : nRT = ( p + a * (n²/v²)) (V - nb), où p est la pression du gaz, n est la quantité de matière, V est le volume, T la température, R constante des gaz parfaits, a pression de cohésion et b covolume."

 

B. "L'équation d'état ci-dessus peut s'écrire sous la forme f(V) = 0 où f est une fonction polynôme degré 3" --> vrai : comment on fait ?

 

C et D "L'équation d'état ci-dessus peut s'écrire sous la forme f(n,V) = 0 avec f(n,V) = p - (nRT / (V - nb)) + (a * (n²/v²)) --> vrai

                                                                                                                             = -p + (nRT / (V - nb)) - (a * (n²/v²)) --> vrai aussi : je ne vois pas comment résoudre ces items

 

E. "La différentielle de f(n,V) s'obtient en écrivant df(n,V) = ( df(n,V) / dn ) + ( df(n,V) / dV ), les autres paramètres étant supposés constants" --> faux, pourquoi ?

 

QCM 3 :

"La densité de probabilité de la loi normale est une fonction gaussienne de la forme : f(x) = ( 1 / (sigma * racine carré de 2pis)) * e ^(- ((x-moyenne)²) / 2 sigma ² )

où sigma écart type > 0'

 

D. "SI deltaX est l'incertitude absolue sur la variable x autour de la valeur x0 pour tout x0 appartenant à R, alors f(x0 + deltaX) est l'incertitude absolue sur f" --> faux pourquoi ?

E. "La variation relative sur f est donnée par deltaF / F est environ égale à - ((x - moy) / sigma) * deltaX --> faux, pourquoi ?

QCM 4 : (je n'arrive pas à joindre la PJ)

Je n'ai réussi que la A, si quelqu'un peut m'expliquer le reste du raisonnement..

Réponses vraies : ACE

QCM 5

A. lim quand x --> 0 de sin2x / 1 - e ^ 2x = -1 --> compté vrai : or pour moi sin2x quand x tend vers 0 tend vers 0 et e^2x tend vers 1 donc 1-1 = 0 ce qui donne une FI ( 0 / 0 )

 

QCM 14 : On a un tableau avec l'âge de la femme en années, les effectifs par tranche et aussi les effectifs cumulésA.

 

A. Les données rapportées ne sont pas assez précises pour calculer l'étendue de la distribution --> vrai, je ne vois pas pourquoi, on a les 100 femmes

 

B. Avec ce choix de classes d'âge, la distribution de l'âge de la mère à la naissance est bimodale puisqu'il ya 2 classes de plus grande fréquence --> faux, je ne sais pas pourquoi puisqu'il y a bien deux classes avec le même effectif et le plus grand, ce qui est la définition du mode. Est-ce parce que comme ces deux classes se suivant ça ne forme qu'un mode?

 

E. On ne peut pas calculer la moyenne de la distribution à partir des seules données fournies --> Vrai, pourquoi ?

 

QCM 15 : Soient PA1 et PA2, deux variables aléatoires correspondant à deux mesures de pression artérielle dont les variances sont var(PA1) et var(PA2). La covariance des deux variables est notée : cov(PA1,PA2)

 

A. var(2*PA1) = var(PA1) + var(PA1) --> faux, pourquoi?

 

Merci mille fois d'avance

[Charly]

Salut Angèle !

 

Je ne pense pas avoir le temps de répondre à tout ça dans l'immédiat, mais je vais déjà essayer d'en faire une partie

 

QCM 1-E : Malheureusement non, le produit de deux fonctios croissantes n'est pas nécessairement croissant. C'est le cas pour une addition de fonctions, mais pas pour le produit, pour lequel ça dépend d'autres paramètres, dont le signe des fonctions.

Pour t'en convaincre, la dérivée de u*v c'est u'v+uv' : si tu sais que u' et v' sont positives (puisque tes fonction sont croissantes), ça ne te permet pas d'affirmer que l'ensemble est positif.

Un exemple simple est si tu multiplies x par x : tu as deux fonctions croissantes, mais le produit, x², est décroissant sur une partie de son domaine.

Bon, là, manque de bol, je crois que c'est bien croissant, mais dans l'idée, le seul fait que tes fonctions soient croissantes n'est pas suffisant pour affirmer que le produit l'est.

 

QCM 2-B : Alors là, prépare-toi à jongler avec ta fonction : le but est de bidouiller ton égalité pour arriver à ce qu'on te demande.

Tu as une égalité : [latex]nRT = (p+a\frac{n^2}{V^2})(V-nb)[/latex]

On te demande une fonction telle que f(V)=0. Autrement dit, tu dois transformer ton écriture, pour avoir une expression dépendant de V, et égale à 0. Si tu veux modifier ton égalité pour avoir un =0, le plus simple est de passer le nRT de l'autre côté, en le soustrayant de part et d'autre : [latex](p+a\frac{n^2}{V^2})(V-nb) - nRT =0[/latex].

Si tu développes ça, ça te donne : [latex]pV-pnb +a\frac{n^2}{V}-\frac{an^3b}{V^2}- nRT =0[/latex]

Là, déjà, tu as donc une fonction f(V)=0. Mais on te demande un polynôme du 3ème degré. D'ailleurs, tu remarques que tu as des V en dénominateur, qui sont un peu gênants. Pour t'en débarrasser sans modifier ton égalité, tu dois simplifier les dénominateurs en multipliant par V² (ça te simplifie à la fois les V² et les V) : c'est l'avantage d'avoir un "=0", tu peux multiplier ce que tu veux en respectant l'égalité, et sens changer le terme de droite.

Donc si tu multiplies pas V², tu obtiens : [latex]V^2 \left [ pV-pnb +a\frac{n^2}{V}-\frac{an^3b}{V^2}- nRT \right ] =0 \times V^2 [/latex]

Soit [latex]pV^3-pnbV^2 +an^2V-an^3b- nRTV^2 =0 [/latex]

Déjà, ça part bien : tu as du V^3, ce qui semble être en faveur du polynôme de degré 3. Mais pour être sûrs, on peut factoriser :

[latex]V^3p-V^2(pnb + nRT) + V(an^2) -an^3b =0 [/latex]

Et là, tu vois que ta fonction est bien un polynôme de degré 3. L'item est donc vrai.

 

Pour les items C et D, l'idée est la même : on te demande de prouver que [latex]p- \frac {nRT}{V-nB} + a \frac {n^2}{V^2}  =0 [/latex]

Pour cela, tu reprends ton égalité de départ : [latex]nRT = (p+a\frac{n^2}{V^2})(V-nb)[/latex].

Là, tu peux déjà remarquer que si tu divises les deux parties de l'égalité par (V-nb), tu le passes en dénominateur à gauche, e qui te permet de trouver la fraction que tu as dans la formule de l'item (faut pas perdre de vue l'objectif). Donc on commence par ça : [latex]\frac {nRT}{V-nb} = (p+a\frac{n^2}{V^2})[/latex].

Et là, tu remarques que tu n'as plus qu'à faire passer la partie de gauche de l'autre côté, par soustraction, pour arriver à l'égalité demandée : [latex] 0 = (p+a\frac{n^2}{V^2})- \frac {nRT}{V-nb}[/latex] (il n'y a plus qu'à changer l'ordre des termes).

Pour la E, il suffit de multiplier de part et d'autre par -1 : tu gardes le 0 tel quel, et à droite, tu trouves la forme donnée dans l'item.

 

Alors je sais, je présente ça comme si c'était super logique, alors que ce n'est pas évident du tout à trouver. Là je vais avoir du mal à t'aider, c'est surtout une question d'entrainement. L'idée est de toujours savoir où on doit arriver, et comment on peut travailler son égalité pour s'approcher de l'objectif.

 

 

QCM 3-D : L'incertitude absolue est en fait [latex]\Delta f[/latex], qui correspond à [latex]f(x_0+\Delta x) - f(x_0)[/latex]. Du coup, [latex]f(x_0+\Delta x)[/latex] n'exprime pas l'incertitude absolue. Ca peut à la limite être un développement limité

 

QCM 3-E : Je sais pas jusqu'où tu as été pour celle-là. L'idée est d'écrire ln(f), puis de dériver ça. Après, si la formule que tu as donné inclut aussi des valeurs absolues, et qu'il n'y a pas de - au début, je dirais que l'erreur vient du ² qui manque sur le sigma. Pour moi, ça serait : [latex] \frac {\Delta f}{f} = \left | \frac{x-moy}{\sigma ^2} \Delta x\right | [/latex]

 

 

Et voilà pour le moment, je ferai le reste quand j'aurai un peu plus de temps (eh ça prend du temps en fait tout ça ). C'est déjà un bon début

En attendant, essaie de voir si tu peux poster l'image pour la suivante, ou détaille un peu plus sinon, parce que j'ai pas accès au sujet d'ici, donc je vais avoir du mal à t'aider là ^^".

Et après, comme d'habitude, si un truc était pas clair, n'hésite pas !

 

Bonne soirée !

[martinbenard]

Salut Angèle.

Pour le QCM 14 :

A)On ne peut pas calculer l'étendue de la distribution car on dispose seulement des classes , mais pas des valeurs extrêmes , or on ne peut pas être certain que la limite inférieure de la plus petite classe et la limite supérieure de la plus grande sont atteintes.

J'espère être assez clair ...

B)C'est cela , comme les deux classes sont consécutives , on considère qu'elles forment un seul mode. On se réfère à la courbe qu'on tracerait , et sur laquelle on ne verrait qu'un seul "sommet" , pour qualifier la distribution d'unimodale.

E)On ne peut pas calculer la moyenne de la distribution car on ne connaît que la répartition par classes , mais pas les valeurs à l'intérieur de ces classes. Pour calculer la moyenne de la distribution , il faudrait connaître l'âge de chaque femme.

[martinbenard]

QCM 15 A) :

var (kX) = k^2 var(X) , donc en l'espèce , var (2PA1) = 4 var(PA1)

[Charly]

Merci Martin pour le relais

 

Pour le QCM 5 maintenant (entre tout, on va réussir à tomber toutes les questions ) :

 

Effectivement, tu as une forme indéterminée ; mais il y a un moyen de la lever. Certains utiliseront le théorème de l'Hôpital, mais comme je l'aime pas du tout, puisqu'on l'a pas vu en cours, je te propose plutôt de le faire avec les développements limités (mais au final ça revient au même).

 

Sauf que cette démonstration, je me rends compte que je l'ai déjà faite en fait (sans blague, j'ai failli recommencer pour rien). Du coup, je te renvoie à ce sujet, où on a eu la même question : http://vps108743.ovh.net/forum/topic/3377-les-limites/?p=15995

 

En résumé, on avait posé le numérateur et le dénominateur comme deux fonctions, u et v, dont on calcule de DL1 en 0. Et avec ça, on faisait :

[latex]\lim _{x \rightarrow 0} f(x) = \frac {\lim _{x \rightarrow 0} u(x)}{\lim _{x \rightarrow 0} v(x) }[/latex]

[latex]\lim _{x \rightarrow 0} f(x) = \frac {\lim _{x \rightarrow 0} u(0+x)}{\lim _{x \rightarrow 0} v(0+x) }[/latex]

[latex]\lim _{x \rightarrow 0} f(x) = \frac {u(0) + x \times u'(0)}{v(0) + x \times v'(0) }[/latex]

Là, si tu as calculé ta dérivée, tu trouves :

[latex]\lim _{x \rightarrow 0} f(x) = \frac {0 + x \times 2}{0 + x \times (-2) }[/latex]

Et tu peux le simplifier :

[latex]\lim _{x \rightarrow 0} f(x) = \frac {2}{-2 } = -1[/latex]

 

Voilà, ça c'est en bref, j'avais bien plus détaillé dans l'autre sujet (mais en faisant quelques fautes en tapant des formules j'ai l'impression). Et si avec tout ça tu ne vois toujours pas (ça se comprendrait : je pense pas qu'on puisse vous demander plus difficile comme calcul de dérivée), n'hésite pas à le dire

 

 

Ensuite, il ne nous manque que le QCM 4, mais du coup, si tu pouvais nous poster le sujet, ça serait bien

 

Bonne soirée !

[Angele]

Merci mille fois à vous deux, vous êtes géniaux

 

Charly : j'ai un souci avec la 3.E, en fait je comprends pas la méthode à suivre, clairement sans m’emmêler   

 

Pour ce qui est du 4, j'arrive pas à le poster, apparemment il est trop gros.. Passes moi ton adresse mail en message si tu veux sinon je vois pas comment faire.. :/

Merci encore !!!!!

[Charly]

Pour la 3-E, faut reprendre la méthode pour calculer l'incertitude relative.

 

Pour cela, il y a une formule importante, qui permet de pas mal simplifier les calculs : [latex]\frac {\Delta f}{f} = \Delta \ln (f)[/latex].

Ça veut dire, que tu peux avoir l'incertitude relative de f, en calculant l'incertitude absolue d'une nouvelle fonction : ln(f).

 

Du coup, on commence par écrire cette nouvelle fonction :

[latex]\ln (f(x))= \ln \left ( \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }} \times \exp \left ( -\frac{(x - moy)^{2}}{2\sigma ^2} \right ) \right ) [/latex]

Grâce aux propriétés de la fonction ln, ça donne : [latex]\ln (f(x))= \ln \left ( \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }} \right ) + \ln \left ( \exp \left ( -\frac{(x - moy)^{2}}{2\sigma ^2} \right ) \right ) [/latex]

Donc [latex]\ln (f(x))= \ln \left ( \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }} \right ) -\frac{(x - moy)^{2}}{2\sigma ^2} \right )[/latex].

 

Pour calculer l'incertitude sur cette fonction, puisqu'on a une seule variable, on va appliquer :

[latex]\Delta ln (f) = \left | \frac {d \ln (f) }{dx} \times \Delta x \right |[/latex]

On veut donc la dérivée de la fonction qu'on vient de calculer.
Pour cela, on remarque que le premier terme (dans le ln) est constant, sa dérivée est donc 0. Pour le second, on garde le dénominateur, qui est un facteur constant, et on dérive le numérateur. Au final (je te fais pas tout le détail du calcul pour gagner du temps ; essaie de le faire de ton côté, si ça ne va pas, je te le développe ), on obtient :

[latex]\frac {d \ln (f)}{dx} = 0 - \frac {2 (x- moy)}{2 \sigma ^2} = - \frac {x - moy}{\sigma ^2}[/latex].

 

En insérant ça dans notre formule, on obtient donc : [latex]\Delta ln (f) = \left | - \frac {x - moy}{\sigma ^2}\times \Delta x \right |[/latex]

La valeur absolue permet d'enlever le -, d'où [latex]\Delta ln (f) = \left | \frac {x - moy}{\sigma ^2}\times \Delta x \right |[/latex].

Et donc, d'après la formule du début, [latex]\frac {\Delta f}{f} = \left | \frac {x - moy}{\sigma ^2}\times \Delta x \right |[/latex].

Et là, t'as plus qu'à comparer à ce qu'on te donne dans l'item

 

Ça va mieux comme ça ?

 

 

Pour le 4, je pense qu'on va faire comme ça oui, je t'envoie mon adresse par MP.

En attendant, bon week-end

[Angele]

C'est super merci mille fois encore une fois de tout le temps que tu prends pour me répondre et aussi pour cette façon que tu as d'expliquer ça super bien!

J'ai enfin compris, je te promets pas de savoir le refaire au concours blanc mais c'est compris c'est déjà ça

 

Merci à toi aussi!

[Charly]

Salut Angèle !

 

Alors, je sais, ça commence à faire très longtemps que je te laisse sans réponse, mais ça a pas été facile ces derniers jours, on a été un peu pris ^^" M'enfin, je commence à sortir la tête de l'eau, donc me revoilà

 

J'ai reçu ton mail, donc que vais essayer de poster le sujet moi-même, en espérant que ça marche mieux. Comme ça, ceux qui passent par là l'auront aussi :

 

Donc ce QCM 4 :

 

Item B : Là, c'est juste de la mise en bouche : la "dérivée logarithmique" correspond à d ln(f). Du coup, ça fait référence à la formule : [latex]d ln(f) = \frac {df}{f}[/latex]. Donc ce qu'il fallait penser, et c'est dans le cours, c'est que la dérivée logarithmique ne correspond pas à l'incertitude absolue, mais à l'incertitude relative.

 

Item C : là, on attaque les choses sérieuses :

 

Déjà, la dérivée partielle de la fonction, c'est ça : [latex]df = \frac {\partial f}{\partial \sigma} d \sigma + \frac {\partial f}{\partial x} dx + \frac {\partial f}{\partial \mu} d \mu[/latex].

Ensuite, si tu ne veux pas te lancer dans des calculs terribles, il faut remarquer une chose : "[latex]\sigma[/latex] est connu sans imprécisions" ; en d'autres termes, [latex]d \sigma = 0[/latex].

Tu coup, ta différentielle devient [latex]df = \frac {\partial f}{\partial x} dx + \frac {\partial f}{\partial \mu} d \mu[/latex] (c'est déjà mieux).

 

Donc pour trouver ça, on commence par calculer la prmeière dérivée partielle :

Notre variable est ici x. Donc déjà, le premier facteur : [latex]\frac {1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}[/latex] est constant. Il va donc rester tel quel dans la dérivée ; il sera donc multiplié par la dérivée de l'exponentielle.

Tu sais que la dérivée de [latex]\exp (u)[/latex], c'est [latex]u' \times \exp (u)[/latex]. Ca veut dire que dans notre cas, pour la trouver, il va falloir calculer la dérivée de notre u : [latex]-\frac{(x-\mu )^2}{2 \sigma ^2}[/latex]. Ici aussi, on garde un faceur constant : [latex]\frac {-1}{2 \sigma ^2}[/latex] ; il ne reste plus qu'à dériver [latex](x- \mu)^2[/latex]. Ca, cette fois, on peut le calculer directement enfin) : ça donne [latex]2 (x- \mu)[/latex].

 

Maintenant on reprend le chemin à l'envers :

La dérivée de u va être : [latex]u' = \frac{-1}{2 \sigma ^2} \times 2 (x- \mu) = \frac{-2 (x- \mu)}{2 \sigma ^2}[/latex]

La dérivée de l'exponentielle va devenir : [latex] u' \times e^{u} = \frac{-2 (x- \mu)}{2 \sigma ^2} e^{-\frac{(x-\mu )^2}{2 \sigma ^2}} [/latex]

En enfin, la dérivée partielle : [latex] \frac{\partial f}{\partial x} = \frac {1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \times \frac{-2 (x- \mu)}{2 \sigma ^2} e^{-\frac{(x-\mu )^2}{2 \sigma ^2}} [/latex]

Si on simplifie un peu : [latex] \frac{\partial f}{\partial x} = \frac {-(x- \mu )}{\sigma ^3 \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(x-\mu )^2}{2 \sigma ^2}}[/latex]

 

Déjà, si on compare à l'item, il semble qu'on tient quelque chose de pas mal Donc on continue avec la suivante :

Pour celle-là, je redétaille pas tout : c'est long, et ça servira pas à grand chose : c'est la même chose, puisque le µ se trouve au même niveau que le x. La seule différence va arriver à la fin, quand on veut dériver (x-µ)² : ici, à cause du moins devant le µ, on va trouver : [latex]-2 (x- \mu)[/latex].

En bref, on a un moins qui se rajoutte au niveau de cette dérivée, et va annuler celui du -1.

En somme, on va trouver : [latex] \frac{\partial f}{\partial \mu} = \frac {x- \mu}{\sigma ^3 \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(x-\mu )^2}{2 \sigma ^2}}[/latex].

Et donc, [latex] - \frac{\partial f}{\partial \mu} = \frac{\partial f}{\partial x} [/latex].

 

Maintenant qu'on a fait ça, on peut passer à la différentielle :

[latex]df = \frac {\partial f}{\partial x} dx + \frac {\partial f}{\partial \mu} d \mu[/latex].

Donc d'après ce qu'on a vu : [latex]df = - \frac {\partial f}{\partial \mu} dx + \frac {\partial f}{\partial \mu} d \mu[/latex].

Donc si on factorise : [latex]df = \frac {\partial f}{\partial \mu} (d \mu - d x )[/latex].

 

Et si on remplace par ce qu'on a trouvé tout à l'heure, on trouve :

[latex]df = \frac {x- \mu}{\sigma ^3 \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(x-\mu )^2}{2 \sigma ^2}} (d \mu - d x )[/latex]

 

Et là, bingo, on retombe sur le résultat de l'item !

 

Donc celui-ci est bien vrai

 

 

C'est déjà un bon début, je te finis ça un peu plus tard (quand j'aurai mangé, ou demain au pire, mais t'inquiète, je serai pas aussi long que la dernière fois)

Comme d'habitude, si il faut reprendre quelque chose, n'hésite pas

 

Bonne soirée !

[Charly]

Et allez, la suite maintenant

 

Pour l'item D, je pense que le problème vient des valeurs absolues, et du [latex]\sigma ^3[/latex]. En effet, normalement, quand tu écris une incertitude, tu dois mettre des valeurs absolues à chaque terme, pour éviter qu'ils se compensent entre eux. Après ça, la factorisation était possible, mais il fallait que tout reste dans les valeurs absolues.

Ensuite, tu ne peux sortir des facteurs de la valeur absolue que si tu es sure qu'ils sont positifs : c'est le cas par exemple pour l'exponentielle. Mais pour le dénominateur, en revanche, [latex]\sqrt {2 \pi }[/latex] est bien positif, mais [latex]\sigma ^3[/latex] peut être négatif, puisque [latex]\sigma\in \mathbb{R}^*[/latex].

Au final, à cause de ça, tu risques de te retrouver avec une incertitude négative, et ça, on n'aime pas.

 

 

Pour la E, on peut reprendre la technique du QCM 3. On a toujours [latex]\sigma[/latex] de fixé ; on doit calculer :

[latex]\frac {\Delta f}{f} = \Delta \ln (f)= \left | \frac{\partial \ln (f))}{\partial x} \Delta x\right | + \left | \frac{\partial \ln (f))}{\partial \mu} \Delta \mu \right |[/latex]

 

Là, c'est cool, puisqu'on a déjà calculé le premier terme : [latex] \frac {\partial \ln (f)}{\partial x} = - \frac {x - \mu}{\sigma ^2}[/latex]

 

Pour le second, on le calcule avec la même méthode, on revient au même problème, il y a qu'un - qui se rajoute :

[latex]\frac {\partial \ln (f)}{\partial \mu} = 0 - \frac {-2 (x- \mu)}{2 \sigma ^2} = \frac {x - \mu}{\sigma ^2}[/latex]

 

Et on a plus qu'à remplacer dans notre formule :

[latex]\frac {\Delta f}{f} = \Delta \ln (f)= \left | - \frac {x - \mu}{\sigma ^2} \Delta x \right | + \left | \frac {x - \mu}{\sigma ^2} \Delta \mu \right |[/latex]

A cause de la valeur absolue, on peut enlever le moins au premier terme : [latex]\frac {\Delta f}{f}= \left | \frac {x - \mu}{\sigma ^2} \Delta x \right | + \left | \frac {x - \mu}{\sigma ^2} \Delta \mu \right |[/latex]

Et si on factorise, on trouve : [latex]\frac {\Delta f}{f}= \left | \frac {x - \mu}{\sigma ^2} \right | \times  (\left | \Delta x \right | + \left | \Delta x \right | )[/latex].

 

Là, on peut juste sortir le [latex]\sigma ^2[/latex] de la valeur absolue, puisqu'il est forcément positif, et on retombe bien sur le résultat du QCM

 

Ca ira ?

 

Par contre, en écrivant ça, je me suis rendu compte que j'avais oublié pas mal de ² sur les [latex]\sigma[/latex] dans le message sur les incertitudes relatives. C'etait justement là tout le problème de l'item en plus, c'est moyen. M'enfin j'ai corrigé ça, désolé ^^"

 

 

Bonne soirée (nuit peut-être)

[Angele]

MERCI MERCI MERCI MERCI MERCI de tout ce temps pris pour m'expliquer tout ça ! J'ai bien suivi ton raisonnement étape par étape et j'ai compris!

Merci encore