CCB maraicher 2012-2013 qcm 4

[Mariz]

Bonsoir !

 

Alors voilà j'ai un petit soucis avec un item de ce qcm 4 dont l'énoncé est : 

"La fonction  est définie par  f(x)=4 + xln [racine carré (1+ (a/x) )] où a est un réel positif. "

 

On nous donne demande la limite de f quand x tend vers + l'infini. On nous aide en nous disant en posant z=(1/X) et que le DL d'ordre 1 de g(X) = ln [1+ az] en 0 est g(0+h) est environs ah (on nous a demandé de le calculer dans les item précédents.)

 

Donc en + l'infini on a (sachant que ln racine carré donne (1/2)ln ) :

f(z) = 4 + (1/2z)a

Soit f(x) = 4+ (ax/2)

 

Et l'item nous demande si lim de f(x) quand x tend vers + l'infini est égal à (4+a/2).

Donc j'ai du mal à comprendre où est passé le z et donc le x, parce que pour moi vu que x tend vers l'infini il me parait pas vraiment négligeable ?

 

Merci d'avance

[Nanar]

Et quelle est la réponse à cet item ?

[Mariz]

Alors oui pardon c'est f(x) = 4+ (a/2)

[Charly]

Salut Mariz !

 

J'ai l'impression qu'il y a quelques trucs qui ont disparu dans tes calculs.

Si ta fonction est [latex]f(x) = 4 + x \ln \sqrt{1+\frac {a}{x}}[/latex] ; en posant [latex]z = \frac{1}{x}[/latex], tu obtiens [latex]f(z) = 4 + \frac {1}{z} \ln \sqrt{1+az}[/latex].

Ou encore, comme tu l'as dit, en sortant la racine, [latex]f(z) = 4 + \frac {1}{2z} \ln (1+az)[/latex].

Et là, tu remarques que tu as ta fonction [latex] g [/latex] qui apparaît, on le note donc : [latex]f(z) = 4 + \frac {1}{2z} \times g(z) [/latex]

 

Maintenant, si on passe aux limites : Déjà, si [latex] x \rightarrow + \infty [/latex], alors [latex] z \rightarrow 0 [/latex] ;

donc [latex]\lim_{x \rightarrow + \infty} f(x) = \lim_{z \rightarrow 0} f(z) = \lim_{z \rightarrow 0} 4 + \frac {1}{2z} \times \lim_{z \rightarrow 0} g(z) [/latex]

Ou encore [latex]\lim_{x \rightarrow + \infty} f(x) = \lim_{z \rightarrow 0} 4 + \frac {1}{2z} \times \lim_{z \rightarrow 0} g(0 + z) [/latex]. Tu notes la subtilité d'écriture dans la fonction g, qui ne change rien au calcul (z+0 = z), mais qui permet d'utiliser le développement limité, puisque [latex]\lim_{h \rightarrow + 0} g(0+h) = ah[/latex]

 

Tu obtiens donc :

[latex]\lim_{x \rightarrow + \infty} f(x) = f(z) = \lim_{z \rightarrow 0} 4 + \frac {1}{2z} \times az [/latex]

Et en simplifiant par z : [latex]\lim_{x \rightarrow + \infty} f(x) = = \lim_{z \rightarrow 0} 4 + \frac {a}{2}  = 4 + \frac {a}{2} [/latex]

 

Et là, tu tombes bien sur le bon résultat, la proposition de l'item D

 

En espérant que ce soit clair,

Bonne journée !

[Mariz]

Je crois en effet que je me suis perdue dans toutes les notations.

En tout cas merci beaucoup, c'est vraiment très clair et très bien expliqué

 

Merci et bonne soirée !