jujub Posted October 2, 2014 Posted October 2, 2014 Bonjour,Je ne comprend pas bien quelle est la différence entre calculer les coordonnées d'un point critique (en vérifiant que la différentielle s'annule) et déterminer le(s) extremum(s) d'une fonction? Comment fait-on pour déterminer l'extremum d'une fonction à plusieurs variables (x,y,z)?Merci d'avance!
Solution Dunant Posted October 2, 2014 Solution Posted October 2, 2014 La différence : Tout extremum est défini en un point critique. Un point critique peut définir un extremum ou non. Par exemple la fonction [latex]\forall x \in \mathbb{R}^2, f(x,y)=y^2-x^2[/latex] possède comme point critique [latex](0,0)[/latex] mais ce n'est ni un miminum ni un maximum local. Comment déterminer un extremum local pour une fonction à plusieurs variables : Calculer les dérivées partielles Rechercher les points critiques Vérifier si ce point critique est un maximum ou un minimum (étude clasique de fonction) Un exemple vaut mieux qu'un long discours... Soit [latex]f[/latex] la fonction définie sur [latex]\mathbb{R}^3[/latex] par [latex]\forall (x,y,z)\in \mathbb{R}^3, f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2[/latex] 1) On calcule les dérivées partielles 2) On recherche les points critiques. On trouve comme unique point critique le point : [latex](x_0,y_0,z_0)=(0,0,0)[/latex] 3) Vérifions que ce point critique est bien un minimum (parce qu'on l'aura par exemple déterminé graphiquement au préalable) : [latex]\forall (x,y,z)\in \mathbb{R}^3, f(x,y,z)-f(x_0,y_0,z_0)=x^2+y^2+z^2-(0^2+0^2+0^2)=x^2+y^2+z^2 \ge 0 \Rightarrow f(x,y,z) \ge f(x_0,y_0,z_0)[/latex] D'où le point [latex](0,0,0)[/latex] est un minimum.
cyclo5perhydrophénantrène Posted October 2, 2014 Posted October 2, 2014 ah la la sacré Dunant ! "Un exemple vaut mieux qu'un long discours..." mdr
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