Point critique

[jujub]

Bonjour,
dans le cours il est marqué que pour trouver un point critique il faut chercher les valeurs de x, y et z pour lesquelles le dérivées partielles s'annulent.
On a l'exemple : f(x,y,z)=10+x-x²-xy-4y²+z-2z².
La dérivée partielle en x = 1-2x-y donc on a 2x+y=1.
La dérivée partielle en y = -x-8y donc on a x+8y=0
La dérivée partielle en z = 1-4z donc z=1/4.

 

Je ne suis pas forte du tout en maths et je ne me souviens plus comment résoudre le système d'équations pour trouver x et y. Quelqu'un pourrait-il m'aider?

Merci!

[pindouille]

Bonjour,

 

Tu as tes 2 équations et tu multiplie la 2° par 2

(1) : 2x+y=1  ---> 2x+y=1

(2) : x+8y=0  ---> 2x+16y=0

 

Puis tu soustrais tes 2 équations : (1)-(2)

Donc on a 2x+y-2x-16y=1-0 ---> -15y=1 ---> y=-1/15

 

Après tu réinjectes y dans une des 2 équations :

(1) : 2x-1/15=1 ---> 2x=16/15 ---> x=8/15

ou

(2) : x+8*(-1/15)=0 ---> x=8/15

 

Et donc ton point critique a pour coordonnées (8/15; -1/15; 1/4)

[LouM]

EDIT : oups pendant que j'écrivais on t'a déja répondu

 

 

Alors tu considères le système suivant :

 

(1) 2x + y = 1

(2) x + 8y = 0

(3) z= 1/4

 

Donc tu sais déja que z = 1/4.

 

Ensuite pour trouver les valeurs de x et y

 

Tu prends la (2), tu isoles x, donc tu fais passer 8y à droite, ça te donne :

 

x + 8y = 0    revient à dire que x = -8y

 

Et ensuite tu fais la substitution, cad que tu remplaces ta valeur de x de la (2) dans ton expression (1) pour n'avoir que des y, donc une équation à 1 inconnue.

 

Tu as donc (1) = 2(-8y) + y = 1

ce qui fait que -15y = 1

Et que y = -1/15

 

Et ensuite, tu prends ta valeur de y connue maintenant, et tu la remplaces dans la (2) pour trouver x.

Tu as donc (2) x= -8*(-1/15) = 8/15

 

Au final, on a

x= 8/15

y= -1/15

et z = 1/4

 

CQFD

[jujub]

Merci beaucoup!