limite QCM 20 TAT

[Yas]

Bonjour, 

 

voici l'item A du qcm 20 du poly du TAT '' lim x -->0⁺  (x³+5x²) / (3x⁴+2x) = +infini '' ; je ne comprends pas pourquoi il est noté faux dans la correction qui dit que la limite est 0 et non pas +infini.

 

Merci!

[Charly]

Bonjour Yas !

 

Je viens de voir ça. Dans la correction ils disent aussi qu'il faut prendre les termes de plus bas degré (sic). Ça explique l'erreur (c'est sûr que comme ça, on trouve 0), mais clairement, je sais pas où ils ont été chercher ça ...

[Yas]

oui voilà ; d'ailleurs c'est la justification qui m'a un peu plus déstabilisée vu que j'ai toujours calculé les limites avec l'exposant de plus haut degré (que ce soit en l'infini ou en 0) ,je n'ai jamais entendu parler de la méthode avec le plus bas degré... merci qd même d'avoir répondu!

[Eve]

Alors, je dois avouer que je ne sais pas pour les limites vers 0 et c'est ce qui m'avait déstabilisée dans ce QCM, mais clairement le théorème qui permet de calculer les limites des polynômes en utilisant seulement le terme de plus haut degrés n'est utilisable que pour les limites vers l'infini (indifféremment plus ou moins l'infini).

Mon raisonnement était donc que vers 0, il fallait prendre le terme de plus petit degrés, ce qui a une explication logique : quand on tend vers 0, les termes de plus haut degrés deviennent négligeables devant ceux de plus petit degrés.

Je ne sais pas d'où il le sortent (je ne l'ai trouvé nulle part dans le cours), mais après réflexion, cela a une certaine logique.

 

En espérant t'avoir un peu aidé...

[Kikino]

Pour moi quelque soit la limite vers quoi cela tend on utilise toujours le monôme de plus haut degrés, enfin c'est ainsi que je l'avais compris dans le cours, mais j'avoue que cela reste déstabilisant au niveau de la correction.... Et que je ne la comprends pas réellement non plus :/

[Eve]

Kikino : dans ton cours de terminale (si tu étais en S, pour rappel si jamais : http://fr.wikiversity.org/wiki/Limites_d%27une_fonction/Limite_des_polyn%C3%B4mes_et_fractions_rationnelles_%C3%A0_l%27infini ) je pense qu'on t'as clairement dit qu'on utilisait le monôme de plus haut degrés uniquement pour les limites vers l'infini. On ne pouvait pas utiliser ce théorème de la même manière pour les limites vers 0 ou vers un autre réel...

Je ne sais pas si c'est précisé dans le cours, mais en tout cas c'est la limite de ce théorème.

 

Ce que j'essayais d'expliquer c'est que, quand x tend vers 0, tu es d'accord que  x^a > x^a+1 , par exemple 0,2³  = 0,008 et 0,2⁴ = 0,0016, donc on a bien 0,2³ > 0,2⁴

Ce que j'essaie de montrer c'est que vers 0, un monôme de plus haut degrés devient négligeable devant celui de plus bas degrès. Pour les limites vers 0, même si ce n'est marqué nul part dans le cours, je pense qu'on peut en effet utiliser que les monômes de plus bas degrés.

[Charly]

Bon, un petit mea culpa s'impose :

J'ai pas assez confiance en ces QCM du TAT, du coup, dès qu'un truc me parait louche, j'ai trop vite tendance à dire que leur corrigé est faux (ce qui arrive aussi, malheureusement).

Mais là, tu as totalement raison, le cas permet pas d'appliquer la formule, j'ai pas fait assez attention, vraiment désolé de vous avoir induit en erreur.

Pour ce qui est de cette histoire de termes de moins haut degré, je l'ai retrouvée sur quelques cours sur internet, mais surtout, j'imagine que si ça a été inclus dans la correction, c'est que ça doit dater d'une année où le prof le disait dans le cours. C'est assez fiable à mon avis (comme tu le dis Eve, c'est assez logique, sinon j'ai essayé de redémontrer le truc à coups de DL, et on tombe sur les mêmes résultats, bien qu'en galérant beaucoup plus).

 

Heureusement qu'il y en a qui suivent, merci Eve

[gaussens09]

Bonjour! Alors, dans mon cas il me semble que le QCM est bon (pas errata), la limite est bien vers 0 et l'explications me semble logique. Je m'explique:

lim x -->0⁺  (x³+5x²) / (3x⁴+2x) ► (on factorise par x)  [x(x²+5x) ] / (x(3x³+2) ► (après simplfication) (x²+5x)/(3x³+2)  

 

pour x-> 0⁺  alors x³ , x², et x tend vers 0 donc x²+5x tend vers 0 et 3x³+2 tend vers 2

 

Au final on a 0/2 donc la fonction tend bien vers 0 si x tend vers 0+

 

 

Le théorème donnait en correction vient du fait que plus l'exposant est élevé, plus la fonction tend "rapidement" vers une valeur (c'est comme ça que je le vois)

Dans le cas de x tend vers l'infini, le plus grand exposant tendra plus rapidement vers une valeur donc les autres sont négligeables devant lui (toujours en retard)

Si x tend vers 0 c'est le plus PETIT exposant qui reste le plus grand (en valeur absolue je parle) donc c'est lui qui détermine la valeur de la fonction les autres étant négligeables devant lui (ils seront toujours plus près du 0 que lui)

Je sais pas si c'est très clair, mais dans tout les cas si vous avez un doute FACTORISEZ:

vers l'infini, prenez le plus grand exposant, vous divisez tous les nombres par cet exposant et normalement tout tendra vers 0 sauf une valeur (limite de la fonction)

vers 0, prenez le plus petit exposant, vous divisez tous le nombre par cet exposant et toutes les valeurs tendront vers 0 sauf une valeur fixe (dans notre cas c'était le 2); s'il est en numérateur, la limite est l'infini (+ ou - à voir) si ce le dénominateur la limite est 0

 

 

Voilà j'espère ne pas me tromper et que ça vous aidera! Courage

[Charly]

Rah gaussens09, j'ai envie de pleurer en voyant ton message. On s'est tellement pris la tête avec ce théorème que personne a pensé à factoriser (pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué hein), et le pire c'est qu'à tous les coups si on avait pas vu la correction on aurait directement fait ça.

Bon ben au moins on aura appris un truc aujourd'hui, pour les monômes de plus bas degré, mais je suis bien dégoûté :/

[gaussens09]

Rho c'est pas grave, "tous les chemins mènent à Rome" comme on dit. C'est ça qui est cooldans les Maths, il y a toujours plusieurs raisonnements, même si certains sont plus rapides que d'autres

[Charly]

Allez gaussens, c'est gentil de vouloir me rassurer, mais on sait tous quelle solution était la bonne