Annales Maraîchers 2016-2017 QCM2D

[Stabilo]

Bonjour j'ai un petit soucis je n'arrive pas à résoudre cette idem 

on a une la f(x)= (ln(x))²-x² 

 

l'idem est le suivants: l'équation f(x) =0 admet une unique solution ( il est comptait vrai).

Merci d'avance de vos réponses!!

 

[Ratus]

Coucou @Stabilo! Alors, je ne parviens pas à trouver une manière élégante de résoudre cette équation, donc je vais te le démontrer de manière assez lourde, mais j'avoue que ça sera un peu long par rapport au temps que vous avez au concours:

Il faut se servir de l'item C, où on a trouvé la dérivé . Comme on est sur l'ensemble de définition de f (très important!) x est strictement positif., et on voit que quand x est proche de 0, est négatif. Donc, on re-dérive cette partie et on obtient qui est positif pour x<1/2, puis est négatif! Donc est croissant jusqu'en 1/2 puis décroissant.

Hors pour x=1/2, ln(x) est négatif, donc aussi. (et comme après il est décroissant, il reste négatif)

Donc est strictement négative, donc f est strictement décroissante.

Hors on peut voir qu'on 0 f(x) tend vers +l'infini, et que en +l'infini f(x) tend vers -l'infini, donc comme la fonction est monotone elle ne pourra prendre qu'une fois la valeur 0 (qui se situe entre - et+ l'infini)

 

Voilà, très fastidieux comme je t'ai dis, j'essaye de voir si il y a une méthode plus simple pour le montrer que voulait nous faire utiliser le prof mais pour l'instant je ne la vois pas!

 

J'espère que ça t'aura servi!

 

EDIT: après avoir regardé le reste du QCM, j'ai vu qu'il faisait montrer à la B que la fonction était monotone, ce qui revient à ma démonstration. Il te fait faire le résonnement par étapes en fait.

 

EDIT 2: C'est bon, j'ai trouvé une méthode élégante! (Il faut se servir de l'ensemble du QCM):

On démontre en A et B que f est strictement négative et décroissante quand x>1

De plus on ne démontre pas mais on voit facilement que pour x proche de 0, la fonction est positive. Donc la solution pour f(x)=0 existe, reste à savoir si elle est unique. (et grâce à A et B, on sait que cette solution n'existe que pour x<0)

En C on calcul la dérivé.

Hors dans cette dérivée, pour x<1 ln x est négatif, -x² aussi de manière évidente donc ln(x)- x²  est négatif, donc la dérivé pour x<0 est strictement décroissante, donc il n'arrive qu'à un seul moment que f(x)=0 (moment que l'on ne connait pas, mais ça n'a pas d'importance)