Analyse

Wonder · November 9, 2019

On donne la fonction f définie par f(x)=2+3tan(x−π/6).

A - Le domaine de définition de f est ]−∞;−π/3[∪]−π/3;2π/3[∪]2π/3;+∞[
B - Pour tout x appartenant au domaine de f, f(x+π)=f(x)
C - La fonction f(x+2π)=f(x) pour tout x appartenant au domaine de f
D - La fonction f est impaire.
E - La fonction f admet des asymptotes horizontales d'équation x=2π/3+kπ, k étant un entier relatif quelconque

Réponses B et C

Bonjour, je ne parviens par à trouver l'ensemble de définition de cette fonction et à trouver qu'elle est impaire (est ce que c'est du au fait que ce soit une fonction tan?)

Merci d'avance !!

Kermit · November 9, 2019

salut

je t'aide pour le domaine de définition et je passe mon tour pour la seconde question

pour avoir ton domaine de définition, il faut que (x - $\frac{\pi}{6}$ ) ne soit pas égal à $\frac{\pi}{2}$ +2kπ ni à - $\frac{\pi}{2}$ + 2kπ

du coup : $x - \frac{\pi}{6}= \frac{\pi}{2}$

$x = \frac{\pi}{6}+ \frac{\pi}{2}$

$x = \frac{\pi}{6}+\frac{3}{3}* \frac{\pi}{2}$

$x = \frac{\pi}{6}+\frac{3\pi}{6}$

$x = \frac{4\pi}{6}$

par simplification

$x = \frac{2\pi}{3}$ , qui est une valeur à exclure du domaine de définition

l'autre valeur à exclure serait :

$x - \frac{\pi}{6}= -\frac{\pi}{2}$

$x = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}$

$x = -\frac{3}{3}*\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}$

$x = -\frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6}$

et c'est comme écrire

$x = \frac{\pi}{6}-\frac{3\pi}{6}$

du coup ça donne $x = -\frac{2\pi}{6}$

et en simplifiant par 2 : $x = -\frac{\pi}{3}$

ce qui fait que ton domaine de définition est IR -- { $-\frac{\pi}{3}+2k\pi$ ; $\frac{2\pi}{3}+2k\pi$ }

voilà j'espère que je ne te dis pas n'importe quoi, une confirmation est la bienvenue

Anelanel · November 9, 2019

Salut j'avais déjà répondu à cette question donc je te mets le lien ! Dit moi si il te faut des explications supplémentaires, je t'aiderai avec plaisir !

November 9, 2019

il y a une heure, Anelanel a dit :

Salut j'avais déjà répondu à cette question donc je te mets le lien ! Dit moi si il te faut des explications supplémentaires, je t'aiderai avec plaisir !

Merci beaucoup à vous deux ! du coup pour la D, je ne parviens pas à savoir comment il faut faire

Anelanel · November 9, 2019

@Léabricot

Pour la D il faut comparer f(x) et f(-x)

Une fonction impaire c est quand f(-x) = - f(x)

Mais comme je le disais dans le lien de l ancien post, on sait pas trop manipuler la fonction tangente donc il vaut mieux remplacer tan = sin/cos

Et une fois que tu auras remplacé par sin/cos il faudra faire comme d habitude : remplacer x par -x est tu vas pas trouver "-f(x)"

Tu ne peux pas te dire que comme il y a une fonction tangente dans la foncion alors forcément c est impaire !!

As tu besoin du détail du calcul ou tu y arrives ?

Ratus · November 10, 2019

Pour prouver qu'une fonction n'est pas impaire il y a une méthode toute simple: on vérifie que f(0) $\neq$ 0 (en effet pour une fonction impaire, pour tout x on a f(-x)=-f(x) donc en particulier f(-0)=-f(0) donc f(0)=-f(0) ce qui n'est possible que si f(0)=0

donc ici on calcul f(0) = 2+3tan(0−π/6) =2+3tan(π/6) = $2-3* \frac{\sqrt{3}}{3} = 2-\sqrt{3}\neq 0$ donc la fonction n'est pas impaire.

(Attention! si f(0)=0, cela n'aurait pas prouvé que le fonction était impaire!)

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