Point critique et extremum local

[Marin]

Je viens de me perdre dans mon cours d'analyse... C'est quoi la différence entre un extremum local et un point critique ? 

Pour moi un point critique c'est quand les dérivées partielles s'annulent. Mais les extremum local aussi c'est ça ? du coup comment on fait la différence entre les deux ? 

Je sais que un extremum est forcément un point critique mais un point critique n'est pas toujours un extremum... J'avoue que j'ai appris ça sans trop comprendre 

 

est ce que quelqu'un pourrait m'aider 

[robinlab]

Salut @Marin, lorsque la différentielle (donc la somme des dérivées partielles) s'annule en un point, on appelle ça un point critique ! Donc t'avais raison.  

Mais pour un extremum local il faut que les dérivées s'annulent (comme un point critique) mais en changeant de sens. 

D'où un extremum est forcément un point critique mais qu'un point critique n'est pas forcément un extremum.

[Marin]

Du coup je fais un tableau de variation pour voir si les dérivés changent de signe, c'est ça @robinlab ?

[Théophylline]

Salut @Marin !! Je me permets de répondre 

 

il y a 12 minutes, Marin a dit :

Du coup je fais un tableau de variation pour voir si les dérivés changent de signe, c'est ça @robinlab ?

Tu fais ça uniquement pour les fonctions à une seule variable. 

 

Dans le cas des fonctions à plusieurs variables on ne peut pas démontrer (en paces au moins) l'existence d'un extremum. Donc ne t'aventure surtout pas à faire un tableau de variations pour une fonction à plusieurs variables (FPV) !!

Je te mets la diapo de cours qui récapitule tout ça :  

Elle dit un peu avant dans le cours que l'étude des applications partielles (et donc des dérivées partielles) ne suffit pas pour connaître le comportement d'une FPV. 

 

Donc pour résumer : 

Dans le cas d'une fonction à une seule variable : 

Un point critique est un extremum si la dérivée s'annule en changeant de signe => faire un tableau de variations.

 

Dans le cas d'une FPV : 

On ne peut pas prouver l'existence d'un extremum. 

 

J'espère que c'est un peu plus clair pour toi ! 

 

[Marin]

Ah d'accooord j'arrive enfin à tout mettre en ordre dans ma tête merci pour ta super réponse @Théophylline 

[Chat_du_Cheshire]

pour l'existence d'une fonction à plusieurs variables, il y a juste une petite exception : c'est si l'on vous dit dans l'énoncé que '' La fonction admet un unique extremum '', dans ce cas il faudra trouver le point critique et on déduira qu'il correspond nécessairement à l'extremum (c'est déjà tombé en CCB)

 

déso de l'incruste haha (me tape pas @Théophylline )