DL et calcul de limites

[Florine29]

Bonjour,

quelqu'un pourrait il m'expliquer en quoi le fait rapprocher une fonction complexe  d'une fonction affine sur un court intervalle grâce au développement limité d'ordre 1 peut nous être utile ?

En effet je ne vois pas comment une approximation d'une fonction sur un petit intervalle peut nous aider à déterminer le comportement de la fonction en question sur des valeurs hors de cet intervalle ...

merci d'avance à celui/celle/ ceux qui pourront m'éclairer sur ce point

Edited September 29, 2019 by Florine29

[Ratus]

Là tu commences à t'approcher de mathématiques assez complexes! Du coup il ne va pas être possible de t'expliquer tous les aboutissants théoriques mais on peut déjà en voir pas mal.

 

Déjà comme tu l'as dis on approxime aux alentours d'un point: l'approximation n'est vrai que en ce point! Donc en effet, si on fait la DL1 en zéro, cela ne nous renseigne en rien sur le comportement de la fonction ailleurs. Mais ce n'est pas très grave, car généralement on ne fait la DL que en un point qui nous intéresse!

De plus l’intérêt principal est la simplicité de la fonction obtenue (une fonction affine) par rapport à tout autre fonction que l'on pourrait avoir (il est bien plus facile d'étudier une droite qu'un sinus au carré). En particulier cela rapproche de la définition de la dérivée, qui est la pente de la droite posée sur la courbe à un point précis! Et pour peu que l'on ai plusieurs fonctions qui s'entrecroisent, on n'a qu'à faire la DL de chacune pour ensuite les comparer!

 

Par exemple si on veut la limite en 0 de sin(x)/x, il s'agit de quelque chose à première vu difficile à faire, mais en faisant la DL1 de sin(x), on trouve 0 + h + o(h) (et celle de x c'est lui même, c'est à dire h + o(h) ), qui est bien plus simple car on obtient finalement h/h=1

Donc voici l'utilité profonde: les limites.

 

De plus il existe un tas de DL usuels: les équivalences. Avec elles même plus besoin de calculer la DL, on peut quasiment simplifier une fonction à l'oeil, car on sait par exemple que en 0 sin(x)=x, ln(1+x)=x... Après vérification dans le cours cette liste n'y est pas (ce qui est bien dommage), mais elle est dans le poly de la tut'rentrée, je t'encourage à y jeter un coup d'oail, ça fait gagner un temps fou lors du concours! Sinon on va essayer de vous faire une belle liste toute neuve qu'on vous distribuera, ça vous sera utile!

 

Voilà, j'espère que mon explication n'était pas trop flou. En résumé: Oui un DL ne renseigne qu'en un point précis, mais comme on est malin on choisit justement le point où on veut calculer la limite!

Edited September 29, 2019 by Ratus

[Guest florine29]

Super explication , merci beaucoup d’avoir pris le temps de me répondre ! J’ai bien compris à quoi sert un DL maintenant !