DL et limites

[yeehaw]

salut !

Je n'arrive pas a résoudre l'item suivant tiré du TD en ligne... il n'est pas compliqué mais je n'arrive pas à comprendre la justification 

On donne la fonction f(x)=ln(2x+1) : 

E- la limite lorsque x tend vers 1 de [f(x)−ln(3)]/[x−1] est 0

Grace aux items précédents, on trouve que le développement limité de f à l'ordre 1 au voisinage de 1 est : f(1+t)= ln(3) + 2t/3 + o(t)

L'item E est compté faux et la justification apporté est :   mais je ne comprends pas comment on fait pour arriver à cette égalité.... 

 

 

[Amonbofis]

Salut @ms987

alors la justification dépend de la méthode que tu utilises !

Avec le théorème de l 'hospital : car tu es d'accord que tu obtiens du 0/0 en terme de limite du numérateur et du dénominateur ?

en dérivant ta fonction du arrives à du 

en remplaçant tes x par 1 : tu obtiens du 0-0/1 docn ça tend bien vers 0.

Tu es d'accord avec ça ? je sais pas si c'est très clair

[yeehaw]

@TontonJeff merci pour ta réponse, mais je n'ai pas tout compris 

déjà, je ne comprends pas pourquoi le dénominateur de la dérivée est 1... c'est pas censé être (x-1)² ? 

puis, à la fin de ton explication, tu trouves bien que la limite est 0 (ce qui voudrait dire que l'item est vrai) mais l'item est compté faux... 

de plus, est ce que tu saurais comment résoudre l'item en utilisant le développement limité? car dans la justification ils l'utilisent 

Edited September 27, 2019 by ms987

[Amonbofis]

@ms987 J'ai fait une erreur aha alors dans le théorème de l'hospital il ne faut pas que tu dérives toute ta fonction mais seulement ton  numérateur et ton dénominateur séparément !

du coup tu dérives ton numérateur (ln(2x+1)- ln(3)et tu obtiens donc 

et ton dénominateur : x-1 -> 1

donc la fonction  quand x tend vers 1 est équivalente à 2/3 (si je ne me suis pas trompé)!

(la première fois j'avais à moitié tout dérivé)

En utilisant le DL tu remplaces t par 1 donc tu obtients (2/3)/1-> 2/3

Le DL te permet d'approximer ta fonction, c'est un peu abstrait

[Nette]

Salut @ms987!

 

j’apporte juste quelques précisions:

grâce aux items précédents tu trouves le DL limité d’une partie du numérateur donc il ne te reste plus qu’à l’appliquer à ta nouvelle fonction:

DL de ln(2x+1)      

f(1+t)= ln3 + 2t/3 + o(t) 

 

donc DL de ln(2x+1)-ln3 

= 2t/3 + o(t)   C’est bien le numérateur proposé dans l’item 

 

ensuite tu fais le DL du dénominateur et tu trouves f( (x-1) +t)= 1-1 + t*1 = t

 

Donc ça nous fait: ( 2t/3 + o(t) ) / t 

 

Et on retrouve bien le quotient proposé dans l’item! 

 

[yeehaw]

oooh d'accord très bien ! merci beaucoup @TontonJeff et @Nette