MARAICHERS CC 2016

[Andreu11]

bonjour!

 

Qcm1: on nous donne la fonction logit (P)= ln (P/(1-P))

 

C: logit (P) admet au moins une asymptote horizontale

compté faux, je ne comprends pas parce que moi j'en trouve une pour P=1?

 

D: logit(P) admet au moins une asymptote verticale

compté vrai, j'ai pas compris non plus, moi j'en trouve pas

 

E: logit (P) est une fonction linéaire de P

compté faux, c'est quoi une fonction linéaire en fait ?

 

Merci beaucoup d'avance!

[Mel_tlse]

Une fonction linéaire est une droite qui passe par l'origine du repère. 

 

En ce qui concerne les premières questions j'aurai dit pareil que toi à première vu donc je vais m'y pencher et je te dirai ! 

[Naomi]

La fonction admet bien 2 asymptotes verticales : une quand p tend vers 0 et l'autre quand p tend vers 1

Par contre la fonction n'admet pas d'asymptotes horizontales (en effet la fonction n'est pas définie en l'infini donc elle ne peut pas admettre d'asymptotes horizontales.)  

[guigui12]

Salut, 
Alors je vais t'expliquer ce QCM qui n'est pas évident au premier abord (pour les questions C et D) mais, qui est tout à fait réalisable en y réfléchissant. 
 
Rappels de cours :

• Asymptote verticale ; une droite d'équation x=x₀ est asymptote verticale à la courbe de la fonction f lorsque lim_X-->X0 f(x)=+/- infini. 
• Asymptote horizontale ; une droite d'équation y=y₀ est asymptote horizontale à la courbe de la fonction f lorsque lim_{X-->+/-infini} f(x) = y₀.

Ici, tu as du répondre assez facilement aux items A et B ; la fonction est définie sur l'intervalle ouvert (0;1) donc, il ne faut pas prendre dans l'ensemble de définition les valeurs 0 et 1. A est faux.
Pour la B il te suffit juste de prendre un contre-exemple avec x<0.5 et tu obtiendras une valeur négative. Donc, B également faux.
 
Pour l'item C ou cela se complique on a ;

• Logit (P) = ln (P/1-P) que l'on peut remplacer par commodité par ln(X/1-X). 

On va donc regarder les asymptotes qui sont probables ; ici pour 0 et 1, les bornes de l'intervalle de définition que tu as trouvé plus haut dans le QCM.

Je ne te ferai que l'exemple pour x=0 pour t'expliquer (même chose pour x=1).

• Donc, pour X=0

Tu as la limite de X quand X tend vers 0 qui est égale à 0.

La limite du quotient X/1-X est égale à 0 également (car 0/1).

Ensuite, on cherche la limite : lim_X-->0+ ln(X/1-X) = lim_X-->0+ ln(0) = - infini.

 

Tu obtiens donc : lim _P-->0+ ln(P/1-P) = -infini. 

Ce qui est bien de la forme d'une asymptote verticale et non d'une asymptote horizontale. 

 

Ceci est l'explication complète mathématique, tu n'as pas besoin de le faire entièrement le jour du concours si tu es à l'aise car cela prend du temps. En effet, en ayant calculé ton intervalle de définition de la fonction, tu as bien vu que ton X (ou P dans l'exercice) ne peut pas tendre vers +/- infini donc, la C est directement fausse. Cependant, pour la D pour déterminer s'il y a ou non une asymptote verticale il faudra le faire pour en être certain et pour bien confirmer que la D est vraie (le calcul d'une seule asymptote verticale est nécessaire! En effet l'item précise "au moins une asymptote verticale").

 

Pour la question E, c'est très simple ; si ta fonction est une fonction linéaire de P ce que tu dois essentiellement retenir c'est qu'une fonction linéaire passe par l'origine de ton repère DONC => Pour P=0 tu dois avoir logit(P) = 0.

Or, ici, logit(P) = ln(P/1-P).

Pour P=0 tu as ln(0). OR, la fonction logarithme népérien n'est pas définie en 0 (A RETENIR ABSOLUMENT!!) donc, tu ne peux pas avoir la fonction logit (P) = 0. Donc, ce n'est pas une fonction linéaire de P donc, l'item E est bien faux. 

 

ATTENTION : il te faut bien différencier la notion de définition d'une fonction (par exemple la fonction ln n'est pas définie en 0) et la notion de limite en un point (par exemple pour la fonction ln tu as bien une limite en 0 est qui -infini).

 

Voilà, en espérant t'avoir éclairé, 

Bonne soirée et révisions 

[Andreu11]

Ouah super, merci beaucoup d'avoir pris du temps pour me répondre! C'est tout a fait limpide maintenant

 

Merci encore, bonne soirée!