theoreme de bayes

[heaven]

bonjour,

J'ai du mal avec cette égalité, j'ai essayé de la faire avec l'arbre de probabilités mais j'ai pas eu le même résultat est ce que quelqu'un pourrait me l'expliquer svp et me  dire si c'est vraiment important pour l'examen.

merciiiii

𝑃(𝐴⁺|𝐵⁺) = 𝑃(𝐴⁺∩𝐵⁺) 𝑃(𝐵⁺) = 𝑃(𝐴⁺)×𝑃(𝐵⁺|𝐴⁺)/(𝐴⁺∩𝐵⁺)+𝑃(𝐴⁻∩𝐵⁺) = 𝑃(𝐴⁺)×𝑃(𝐵⁺|𝐴⁺) / 𝑃(𝐴⁺)×𝑃(𝐵⁺|𝐴⁺)+𝑃(𝐴⁻)×𝑃(𝐵⁺|𝐴⁻)

[etteblabla]

coucou ! Donc quand on regarde le théorème de Bayes, on a : 

C'est plus des manipulations d'équation que de la réflexion et je crois que la formule comme ça ne tombe pas (du moins je l'ai jamais vu posée).

En fait on part de cette formule P(A|B)=P(A∩B)/P(B). On l'applique à notre P(A+|B+), on a  P(A+|B+)= P(A+∩B+)/P(B+) d'après le cours, que P(A∩B)=P (A|B) xP(B), sauf que l'on peut aussi écrire P(A∩B)=P (B|A) x P(A), ce qui explique notre numérateur qui est P (B+|A+) x P(A+). 

Pour le dénominateur, on a juste P(B+), or P(B+)=P(A+∩B+) + P(A-∩B+), on peut se l'imaginer en dessinant un arbre de probabilité et en se rendant compte que la probabilité de B+ est sur plusieurs branches donc on les somme.

Or on rebidouille notre formule, exactement comme avec le numérateur et on trouve (𝑃(𝐴⁺)×𝑃(𝐵⁺|𝐴⁺)) /(𝑃(𝐴⁺)×𝑃(𝐵⁺|𝐴⁺)+𝑃(𝐴⁻)×𝑃(𝐵⁺|𝐴⁻)).

Cette formule est plus un exercice en soit pour comprendre comment on trouve l'équation finale via les formules du cours. Donc au final on a trouvé le résultat en utilisant juste une seule formule : 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴∩𝐵)/𝑃(𝐵) et en pensant aussi à faire la somme au dénominateur

C'est un peu illisible mais j'espère t'avoir aidé !

Edited November 7 by etteblabla