Iliana Posted October 20, 2016 Posted October 20, 2016 Bonjour Pour le qcm 4, la fonction suivante: (x^4 +3x^2 -1)/ 2x^2 La limite quand x tend vers 0 est - linfini. Sauf que je voulais savoir pourquoi on ne peut pas utiliser le théorème de lhospital ici? En lutilisant et en derivant deux fois on trouve pas moins l'infini (ce qui est faux) Deuxième question, on a utilisé le monome de plus bas degré ici mais comment on est arrivé à dire que cest (-1/2x^2) ? Merci pour vos reponses
Solution dvillon Posted October 20, 2016 Solution Posted October 20, 2016 Salut Iliana, J'espère que tu as aimé cette colle, sur laquelle nous avons tous planché pendant plusieurs semaines ... En ce qui concerne ta première question, je n'ai personnellement jamais entendu parlé du théorème de l’Hôpital, par conséquent je ne m'en suis jamais servi pour répondre à une seule question au concours, il ne me semble donc pas fondamental de l'utiliser et de le connaitre (après peut être que les profs y ont fait référence en cours mais personnellement je ne suis pas allé aux cours de maths en paces donc il m'est impossible de le savoir...). De ce que j'ai pu lire sur internet (parce qu'il a bien fallu que je me renseigne sur ce théorème), j'ai trouvé que le théorème de l'Hôpital n'était utilisable que pour les formes indéterminées de type 0/0 et inf/inf... Je continue ma lecture et je comprends que pour étudier la limite d'une fonction de type f(x)=g(x)/h(x), on peut utiliser ce théorème qui dit "lim x->a g(x)/h(x) = lim x-> g'(x)/h'(x)" J'en conclue que tu as donc sans doutes posé g(x)= x^4 + 3x^2 -1 et h(x)= 2x^2 et que donc g'(x)=4x^3+6x et h'(x)=4x et donc cherché la limx->0 g'(x)/h'(x)... Ce qui a du te donner ... Une autre forme indéterminée de type 0/0 et donc tu refais le théorème de l'Hopital pour trouver lim x-> 0 f(x)=0... (là je réponds un peu vite et peut être que je me suis trompé mais c'est pas là l'essentiel en fait)... Peut être que tu ne le sais pas mais le théorème de l'Hopital est défini pour des conditions bien particulières et en plus sur Wikipédia ils ont même l'air de parler de cas où il ne donne pas de résultats fiables, même si on respecte les conditions qui sont nécessaires à son application... Je te conseille donc de l'utiliser avec beaucoup de prudence le jour du concours, parce qu'ici dans ce cas précis tu ne pouvais pas l'utiliser :s Pourquoi ? Parce que tu n'es ni en présence d'une FI 0/0 ni inf/inf... Car si tu prends séparément les limites en 0 du numérateur et du dénominateur, tu te retrouveras avec une limite qui est équivalente à -1/0 (désolé pour les mathématiciens qui tomberont sur ce post, la division par 0 ça brûle les yeux ) en 0, or si le dénominateur tend vers 0 et que le numérateur tend vers -1, la fonction aura une limite en 0 équivalente à -inf Donc il faut faire attention à bien respecter les conditions d'application de ce théorème car sinon ça ne donne pas le résultat attendu :/... Pour ta deuxième question, tu sais qu'une fonction polynôme est la somme de plusieurs monômes. Or je te rappelle que x^4+3x^2-1= x^4+3x^^2-1x^0 (rappel: x^0=1). On connait la règle qui dit que quand une fonction polynôme tend vers 0, on cherche la limite de son monôme de plus faible degré :ici -1 (car -1= -1x^0 et que x^0 est de plus faible degré que x^2 ou x^3) . Donc le monôme de plus faible degré au numérateur est -1 et au dénominateur, c'est 2x^2 (simple: il n'y a que lui)... Donc on regarde la limite en 0 de -1/2x^2 (les monômes de plus faibles degrés J'espère avoir répondu à tes questions de façon compréhensible
Iliana Posted October 21, 2016 Author Posted October 21, 2016 Merci ÉNORMÉMENT pour ces explications claires et precises et de t'être donnée la peine d'écrire tout ca ! et Merci pour la colle qui etait vraiment bien et très ressemblantes aux sujets types concours
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