Lois de probabilité - CB Purpan 2014 QCM 9

[Chloe-M]

Bonjour,

 

Un QCM me pose problème.

 

X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes qui suivent une loi de Poisson de moyennes non nulles lambda(X) et lambda(Y) respectivement. Indiquez si les propositions suivantes sont vraies ou fausses.

A. La variable aléatoire Z = 2X peut suivre une loi de Poisson

B. La variable aléatoire Z = X + Y peut suivre une loi de Poisson

C. La variable aléatoire Z = X - Y peut suivre une loi de Poisson

D. La variable aléatoire Z = X + 2 peut suivre une loi de Poisson

E. La variable aléatoire Z = 2(X + Y) peut suivre une loi de Poisson

 

Je ne sais pas comment résoudre ce QCM.. Si quelqu'un avait la méthode pour résoudre ce type de QCM ça serait trop cool!

 

Merci

[Clemsoin]

Dans la de Poisson espérance=Variance=lambda, du coup tu dois testé pour chaque variable aléatoire que tu retrouves bien cette égalité.

(Et faut bien faire attention qu'ici les variables sont indépendantes)

[Chloe-M]

Oh punaise j'y aurais jamais pensé! Merci!

[rbm2322a]

Bonjour,

 

Je me permet de demander comment fait-on pour trouver E, lambda et V? C'est grace au coefficient devant X et Y?

[guigui12]

Salut rbm2322a,

En fait, pour calculer les différents paramètres, il faut utiliser les formules suivantes :

 

Pour l'Espérance (E) :

 

E(X+a) = E(X) + a.

E(aX) = a E(X)

E(aX+b ) = a E(X) + b.

E(X+Y) = E(X) + E(Y)

E(aX + bY) = a E(X) + b E(Y).

 

Pour la Variance (V):

V(X+a) = V(X)

V(aX) = a²V(X)

V(aX +b ) = a²V(X).

 

Et bien sur NE SURTOUT PAS OUBLIER les formules suivantes pour les variables suivant une loi binomiale :

E(X) = np

V(X) = np(1-p)

écart-type (X) = racine de (V(X))

 

J'espère avoir répondu à ta question, sinon n'hésite pas

[rbm2322a]

Mais il y a quelque chose que je ne comprends toujours pas, par exemple pour le premier item on a Z=2X

 

On a donc E (Z)=2 E(X)

Var (Z)= 4Var(X)

Mais comment on peut dire que c'est faux du coup?

[chamallo]

Salut !
Ton espérance est différente de ta variance, donc c'est faux, il ne faut pas aller chercher plus loin : la partie la plus dure consiste à connaître ses formules et à savoir les utiliser c'est tout !
Bonne continuation !

[rbm2322a]

Donc si je comprends bien la B est juste car

E (Z)= E (X) + E (Y)

Var (Z)= Var (X)+ Var (Y) (car cov (X,Y)=0 car X et Y indépendants )

[guigui12]

Oui, du coup tu as la formule suivante :

Var (X+Y) = Var (X) + Var (Y) + 2cov (X,Y)

Ton calcul est bien bon, normalement c'est ça 

[rbm2322a]

Du coup l'item est juste car Var (Z)=E (Z)?

[guigui12]

J'aurais dit que oui vu que nous n'avons plus d'autres indications pour calculer autre chose! 

Pour moi cet item est vrai vu que tu trouves :

E (Z) = E(X) + E (Y) et Var (Z) = Var (X) + Var (Y) 

avec Var = E dans une loi de poisson.

 

Je ne vois pas d'autres subtilités pour trouver cet item faux en tout cas 

[rbm2322a]

D'accord merci beaucoup